Theorem digit1 12300

Description: Two ways to express the th digit in the decimal expansion of a number (when base ). corresponds to the first digit after the decimal point. (Contributed by NM, 3-Jan-2009.)

Assertion

Ref	Expression
digit1

Proof of Theorem digit1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		digit2 12299	. . . . . . 7
2	1	3coml 1203	. . . . . 6
3	2	3expa 1196	. . . . 5
4	3	oveq1d 6311	. . . 4
5		nnre 10568	. . . . . . . . 9
6		nnnn0 10827	. . . . . . . . 9
7		reexpcl 12183	. . . . . . . . 9
8	5, 6, 7	syl2an 477	. . . . . . . 8
9		remulcl 9598	. . . . . . . 8
10	8, 9	sylan 471	. . . . . . 7
11		reflcl 11933	. . . . . . 7
12	10, 11	syl 16	. . . . . 6
13		nnrp 11258	. . . . . . 7
14	13	ad2antrr 725	. . . . . 6
15	12, 14	modcld 12002	. . . . 5
16		nnexpcl 12179	. . . . . . . 8
17	6, 16	sylan2 474	. . . . . . 7
18	17	nnrpd 11284	. . . . . 6
19	18	adantr 465	. . . . 5
20		modge0 12005	. . . . . 6
21	12, 14, 20	syl2anc 661	. . . . 5
22	5	ad2antrr 725	. . . . . 6
23	8	adantr 465	. . . . . 6
24		modlt 12006	. . . . . . 7
25	12, 14, 24	syl2anc 661	. . . . . 6
26		nncn 10569	. . . . . . . . . 10
27		exp1 12172	. . . . . . . . . 10
28	26, 27	syl 16	. . . . . . . . 9
29	28	adantr 465	. . . . . . . 8
30	5	adantr 465	. . . . . . . . 9
31		nnge1 10587	. . . . . . . . . 10
32	31	adantr 465	. . . . . . . . 9
33		simpr 461	. . . . . . . . . 10
34		nnuz 11145	. . . . . . . . . 10
35	33, 34	syl6eleq 2555	. . . . . . . . 9
36		leexp2a 12221	. . . . . . . . 9
37	30, 32, 35, 36	syl3anc 1228	. . . . . . . 8
38	29, 37	eqbrtrrd 4474	. . . . . . 7
39	38	adantr 465	. . . . . 6
40	15, 22, 23, 25, 39	ltletrd 9763	. . . . 5
41		modid 12020	. . . . 5
42	15, 19, 21, 40, 41	syl22anc 1229	. . . 4
43		simpll 753	. . . . . . 7
44		nnm1nn0 10862	. . . . . . . . 9
45		reexpcl 12183	. . . . . . . . 9
46	5, 44, 45	syl2an 477	. . . . . . . 8
47		remulcl 9598	. . . . . . . 8
48	46, 47	sylan 471	. . . . . . 7
49		nnexpcl 12179	. . . . . . . . 9
50	44, 49	sylan2 474	. . . . . . . 8
51	50	adantr 465	. . . . . . 7
52		modmulnn 12013	. . . . . . 7
53	43, 48, 51, 52	syl3anc 1228	. . . . . 6
54		expm1t 12194	. . . . . . . . . 10
55		expcl 12184	. . . . . . . . . . . 12
56	44, 55	sylan2 474	. . . . . . . . . . 11
57		simpl 457	. . . . . . . . . . 11
58	56, 57	mulcomd 9638	. . . . . . . . . 10
59	54, 58	eqtrd 2498	. . . . . . . . 9
60	26, 59	sylan 471	. . . . . . . 8
61	60	adantr 465	. . . . . . 7
62	61	oveq2d 6312	. . . . . 6
63	61	oveq1d 6311	. . . . . . . . 9
64	26	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10
65	26, 44, 55	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11
66	65	adantr 465	. . . . . . . . . 10
67		recn 9603	. . . . . . . . . . 11
68	67	adantl 466	. . . . . . . . . 10
69	64, 66, 68	mulassd 9640	. . . . . . . . 9
70	63, 69	eqtrd 2498	. . . . . . . 8
71	70	fveq2d 5875	. . . . . . 7
72	71, 61	oveq12d 6314	. . . . . 6
73	53, 62, 72	3brtr4d 4482	. . . . 5
74		reflcl 11933	. . . . . . . 8
75	48, 74	syl 16	. . . . . . 7
76		remulcl 9598	. . . . . . 7
77	22, 75, 76	syl2anc 661	. . . . . 6
78		modsubdir 12055	. . . . . 6
79	12, 77, 19, 78	syl3anc 1228	. . . . 5
80	73, 79	mpbid 210	. . . 4
81	4, 42, 80	3eqtr3d 2506	. . 3
82	81	3impa 1191	. 2
83	82	3comr 1204	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514  cmul 9518  clt 9649  cle 9650  cmin 9828  cn 10561  cn0 10820  cuz 11110  crp 11249  cfl 11927  cmo 11996  cexp 12166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167