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Theorem discr 12303
Description: If a quadratic polynomial with real coefficients is nonnegative for all values, then its discriminant is nonpositive. (Contributed by NM, 10-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
discr.1
discr.2
discr.3
discr.4
Assertion
Ref Expression
discr
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem discr
StepHypRef Expression
1 discr.2 . . . . . . . . . 10
21adantr 465 . . . . . . . . 9
3 resqcl 12235 . . . . . . . . 9
42, 3syl 16 . . . . . . . 8
54recnd 9643 . . . . . . 7
6 4re 10637 . . . . . . . . 9
7 discr.1 . . . . . . . . . . 11
87adantr 465 . . . . . . . . . 10
9 discr.3 . . . . . . . . . . 11
109adantr 465 . . . . . . . . . 10
118, 10remulcld 9645 . . . . . . . . 9
12 remulcl 9598 . . . . . . . . 9
136, 11, 12sylancr 663 . . . . . . . 8
1413recnd 9643 . . . . . . 7
15 4pos 10656 . . . . . . . . . 10
166, 15elrpii 11252 . . . . . . . . 9
17 simpr 461 . . . . . . . . . 10
188, 17elrpd 11283 . . . . . . . . 9
19 rpmulcl 11270 . . . . . . . . 9
2016, 18, 19sylancr 663 . . . . . . . 8
2120rpcnd 11287 . . . . . . 7
2220rpne0d 11290 . . . . . . 7
235, 14, 21, 22divsubdird 10384 . . . . . 6
2411recnd 9643 . . . . . . . . 9
258recnd 9643 . . . . . . . . 9
26 4cn 10638 . . . . . . . . . 10
2726a1i 11 . . . . . . . . 9
2818rpne0d 11290 . . . . . . . . 9
29 4ne0 10657 . . . . . . . . . 10
3029a1i 11 . . . . . . . . 9
3124, 25, 27, 28, 30divcan5d 10371 . . . . . . . 8
3210recnd 9643 . . . . . . . . 9
3332, 25, 28divcan3d 10350 . . . . . . . 8
3431, 33eqtrd 2498 . . . . . . 7
3534oveq2d 6312 . . . . . 6
3623, 35eqtrd 2498 . . . . 5
374, 20rerpdivcld 11312 . . . . . . . . . . 11
3837recnd 9643 . . . . . . . . . 10
39382timesd 10806 . . . . . . . . 9
40 2t2e4 10710 . . . . . . . . . . . . 13
4140oveq1i 6306 . . . . . . . . . . . 12
42 2cnd 10633 . . . . . . . . . . . . 13
4342, 42, 25mulassd 9640 . . . . . . . . . . . 12
4441, 43syl5eqr 2512 . . . . . . . . . . 11
4544oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10
4642, 5, 21, 22divassd 10380 . . . . . . . . . 10
47 2rp 11254 . . . . . . . . . . . . 13
48 rpmulcl 11270 . . . . . . . . . . . . 13
4947, 18, 48sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12
5049rpcnd 11287 . . . . . . . . . . 11
5149rpne0d 11290 . . . . . . . . . . 11
52 2ne0 10653 . . . . . . . . . . . 12
5352a1i 11 . . . . . . . . . . 11
545, 50, 42, 51, 53divcan5d 10371 . . . . . . . . . 10
5545, 46, 543eqtr3d 2506 . . . . . . . . 9
5639, 55eqtr3d 2500 . . . . . . . 8
572, 49rerpdivcld 11312 . . . . . . . . . . . 12
5857renegcld 10011 . . . . . . . . . . 11
59 discr.4 . . . . . . . . . . . . 13
6059ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . 12
6160adantr 465 . . . . . . . . . . 11
62 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6362oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . 15
64 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . 15
6563, 64oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . 14
6665oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . 13
6766breq2d 4464 . . . . . . . . . . . 12
6867rspcv 3206 . . . . . . . . . . 11
6958, 61, 68sylc 60 . . . . . . . . . 10
7057recnd 9643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
71 sqneg 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7270, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
732recnd 9643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
74 sqdiv 12233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7573, 50, 51, 74syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
76 sqval 12227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7750, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7850, 42, 25mulassd 9640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7942, 25, 42mul32d 9811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8079, 41syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8180oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8277, 78, 813eqtr2d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8382oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8472, 75, 833eqtrd 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
855, 21, 25, 22, 28divdiv1d 10376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8684, 85eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8786oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . 15
8838, 25, 28divcan2d 10347 . . . . . . . . . . . . . . 15
8987, 88eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . 14
9073, 70mulneg2d 10035 . . . . . . . . . . . . . . 15
91 sqval 12227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9273, 91syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9392oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9473, 73, 50, 51divassd 10380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9593, 94eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9695negeqd 9837 . . . . . . . . . . . . . . 15
9790, 96eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . . . 14
9889, 97oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . 13
994, 49rerpdivcld 11312 . . . . . . . . . . . . . . 15
10099recnd 9643 . . . . . . . . . . . . . 14
10138, 100negsubd 9960 . . . . . . . . . . . . 13
10298, 101eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . 12
103102oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11
10438, 32, 100addsubd 9975 . . . . . . . . . . 11
105103, 104eqtr4d 2501 . . . . . . . . . 10
10669, 105breqtrd 4476 . . . . . . . . 9
10737, 10readdcld 9644 . . . . . . . . . 10
108107, 99subge0d 10167 . . . . . . . . 9
109106, 108mpbid 210 . . . . . . . 8
11056, 109eqbrtrd 4472 . . . . . . 7
11137, 10, 37leadd2d 10172 . . . . . . 7
112110, 111mpbird 232 . . . . . 6
11337, 10suble0d 10168 . . . . . 6
114112, 113mpbird 232 . . . . 5
11536, 114eqbrtrd 4472 . . . 4
1164, 13resubcld 10012 . . . . 5
117 0red 9618 . . . . 5
118116, 117, 20ledivmuld 11334 . . . 4
119115, 118mpbid 210 . . 3
12021mul01d 9800 . . 3
121119, 120breqtrd 4476 . 2
1229adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
123122ltp1d 10501 . . . . . . . . . . 11
124 peano2re 9774 . . . . . . . . . . . . 13
125122, 124syl 16 . . . . . . . . . . . 12
126122, 125ltnegd 10155 . . . . . . . . . . 11
127123, 126mpbid 210 . . . . . . . . . 10
128 df-neg 9831 . . . . . . . . . 10
129127, 128syl6breq 4491 . . . . . . . . 9
130125renegcld 10011 . . . . . . . . . 10
131 0red 9618 . . . . . . . . . 10
132130, 122, 131ltaddsubd 10177 . . . . . . . . 9
133129, 132mpbird 232 . . . . . . . 8
134133expr 615 . . . . . . 7
1351adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
136 simprr 757 . . . . . . . . . . . 12
137130, 135, 136redivcld 10397 . . . . . . . . . . 11
13860adantr 465 . . . . . . . . . . 11
139 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . 16
140139oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . 15
141 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . 15
142140, 141oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . 14
143142oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . 13
144143breq2d 4464 . . . . . . . . . . . 12
145144rspcv 3206 . . . . . . . . . . 11
146137, 138, 145sylc 60 . . . . . . . . . 10
147 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . 15
148147oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14
149137recnd 9643 . . . . . . . . . . . . . . . 16
150 sqcl 12230 . . . . . . . . . . . . . . . 16
151149, 150syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
152151mul02d 9799 . . . . . . . . . . . . . 14
153148, 152eqtr3d 2500 . . . . . . . . . . . . 13
154130recnd 9643 . . . . . . . . . . . . . 14
155135recnd 9643 . . . . . . . . . . . . . 14
156154, 155, 136divcan2d 10347 . . . . . . . . . . . . 13
157153, 156oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . 12
158154addid2d 9802 . . . . . . . . . . . 12
159157, 158eqtrd 2498 . . . . . . . . . . 11
160159oveq1d 6311 . . . . . . . . . 10
161146, 160breqtrd 4476 . . . . . . . . 9
162 0re 9617 . . . . . . . . . 10
163130, 122readdcld 9644 . . . . . . . . . 10
164 lenlt 9684 . . . . . . . . . 10
165162, 163, 164sylancr 663 . . . . . . . . 9
166161, 165mpbid 210 . . . . . . . 8
167166expr 615 . . . . . . 7
168134, 167pm2.65d 175 . . . . . 6
169 nne 2658 . . . . . 6
170168, 169sylib 196 . . . . 5
171170sq0id 12261 . . . 4
172 simpr 461 . . . . . . . 8
173172oveq1d 6311 . . . . . . 7
1749recnd 9643 . . . . . . . . 9
175174adantr 465 . . . . . . . 8
176175mul02d 9799 . . . . . . 7
177173, 176eqtr3d 2500 . . . . . 6
178177oveq2d 6312 . . . . 5
17926mul01i 9791 . . . . 5
180178, 179syl6eq 2514 . . . 4
181171, 180oveq12d 6314 . . 3
182 0m0e0 10670 . . . 4
183 0le0 10650 . . . 4
184182, 183eqbrtri 4471 . . 3
185181, 184syl6eqbr 4489 . 2
186 eqid 2457 . . . 4
1877, 1, 9, 59, 186discr1 12302 . . 3
188 leloe 9692 . . . 4
189162, 7, 188sylancr 663 . . 3
190187, 189mpbid 210 . 2
191121, 185, 190mpjaodan 786 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  ifcif 3941   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cmin 9828  -ucneg 9829   cdiv 10231  2c2 10610  4c4 10612   crp 11249   cexp 12166
This theorem is referenced by:  csbren  21826  normlem6  26032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-seq 12108  df-exp 12167
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