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Theorem disjiun 4442
Description: A disjoint collection yields disjoint indexed unions for disjoint index sets. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
disjiun
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem disjiun
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-disj 4423 . . . 4
2 elin 3686 . . . . . . . . . 10
3 eliun 4335 . . . . . . . . . . 11
4 eliun 4335 . . . . . . . . . . 11
53, 4anbi12i 697 . . . . . . . . . 10
62, 5bitri 249 . . . . . . . . 9
7 nfv 1707 . . . . . . . . . . . 12
87rmo2 3427 . . . . . . . . . . 11
9 an4 824 . . . . . . . . . . . . 13
10 ssralv 3563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1110impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12 r19.29 2992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
13 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1413imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1514eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1615biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1716rexlimiv 2943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1812, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1918ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2011, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2120expimpd 603 . . . . . . . . . . . . . . . 16
22 ssralv 3563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2322impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
24 r19.29 2992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2514eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2625biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2726rexlimiv 2943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2824, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2928ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3023, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3130expimpd 603 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3221, 31anim12d 563 . . . . . . . . . . . . . . 15
33 inelcm 3881 . . . . . . . . . . . . . . 15
3432, 33syl6 33 . . . . . . . . . . . . . 14
3534exlimiv 1722 . . . . . . . . . . . . 13
369, 35syl5bi 217 . . . . . . . . . . . 12
3736expd 436 . . . . . . . . . . 11
388, 37sylbi 195 . . . . . . . . . 10
3938impcom 430 . . . . . . . . 9
406, 39syl5bi 217 . . . . . . . 8
4140necon2bd 2672 . . . . . . 7
4241impancom 440 . . . . . 6
43423impa 1191 . . . . 5
4443alimdv 1709 . . . 4
451, 44syl5bi 217 . . 3
4645impcom 430 . 2
47 eq0 3800 . 2
4846, 47sylibr 212 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  E*wrmo 2810  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  U_ciun 4330  Disj_wdisj 4422
This theorem is referenced by:  disjiunOLD  4443  disjxiun  4449  fsumiun  13635  uniioombllem4  21995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rmo 2815  df-v 3111  df-dif 3478  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-iun 4332  df-disj 4423
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