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Theorem disjxiun 4449
Description: An indexed union of a disjoint collection of disjoint collections is disjoint if each component is disjoint, and the disjoint unions in the collection are also disjoint. Note that ( ) and (x) may have the displayed free variables. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
disjxiun
Distinct variable groups:   , ,   ,   ,

Proof of Theorem disjxiun
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfiu1 4360 . . . . . 6
2 nfcv 2619 . . . . . 6
31, 2nfdisj 4434 . . . . 5
4 ssiun2 4373 . . . . . . 7
5 disjss1 4428 . . . . . . 7
64, 5syl 16 . . . . . 6
76com12 31 . . . . 5
83, 7ralrimi 2857 . . . 4
98a1i 11 . . 3
10 simplr 755 . . . . . . . . . 10
11 simprll 763 . . . . . . . . . . 11
12 ssiun2 4373 . . . . . . . . . . . 12
13 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . 13
14 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . . . . . 13
15 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . . . . 13
1613, 14, 15cbviun 4367 . . . . . . . . . . . 12
1712, 16syl6sseqr 3550 . . . . . . . . . . 11
1811, 17syl 16 . . . . . . . . . 10
19 simprlr 764 . . . . . . . . . . 11
20 csbeq1 3437 . . . . . . . . . . . . 13
2120sseq1d 3530 . . . . . . . . . . . 12
2221, 17vtoclga 3173 . . . . . . . . . . 11
2319, 22syl 16 . . . . . . . . . 10
24 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2513, 14, 15cbvdisj 4432 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2624, 25sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15
2720disjor 4436 . . . . . . . . . . . . . . 15
2826, 27sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14
29 rsp2 2831 . . . . . . . . . . . . . 14
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
3130imp 429 . . . . . . . . . . . 12
3231ord 377 . . . . . . . . . . 11
3332impr 619 . . . . . . . . . 10
34 disjiun 4442 . . . . . . . . . 10
3510, 18, 23, 33, 34syl13anc 1230 . . . . . . . . 9
3635expr 615 . . . . . . . 8
3736orrd 378 . . . . . . 7
3837ralrimivva 2878 . . . . . 6
3920iuneq1d 4355 . . . . . . 7
4039disjor 4436 . . . . . 6
4138, 40sylibr 212 . . . . 5
42 nfcv 2619 . . . . . 6
4314, 2nfiun 4358 . . . . . 6
4415iuneq1d 4355 . . . . . 6
4542, 43, 44cbvdisj 4432 . . . . 5
4641, 45sylibr 212 . . . 4
4746ex 434 . . 3
489, 47jcad 533 . 2
4916eleq2i 2535 . . . . . . . . 9
50 eliun 4335 . . . . . . . . 9
5149, 50bitri 249 . . . . . . . 8
52 nfcv 2619 . . . . . . . . . . 11
53 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . . . 11
54 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . . 11
5552, 53, 54cbviun 4367 . . . . . . . . . 10
5655eleq2i 2535 . . . . . . . . 9
57 eliun 4335 . . . . . . . . 9
5856, 57bitri 249 . . . . . . . 8
5951, 58anbi12i 697 . . . . . . 7
60 reeanv 3025 . . . . . . 7
6159, 60bitr4i 252 . . . . . 6
62 simplrr 762 . . . . . . . . . . . 12
63 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
64 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6514, 2nfdisj 4434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6615disjeq1d 4430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6765, 66rspc 3204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6863, 64, 67sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6968ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15
70 disjors 4438 . . . . . . . . . . . . . . 15
7169, 70sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14
72 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7372simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . 15
7472simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7520adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7674, 75eleqtrrd 2548 . . . . . . . . . . . . . . 15
7773, 76jca 532 . . . . . . . . . . . . . 14
78 rsp2 2831 . . . . . . . . . . . . . 14
7971, 77, 78sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13
8079ord 377 . . . . . . . . . . . 12
8162, 80mpd 15 . . . . . . . . . . 11
82 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . . . 15
8382simpld 459 . . . . . . . . . . . . . 14
84 ssiun2 4373 . . . . . . . . . . . . . . 15
85 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . 16
86 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . . . . . . . . 16
87 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8885, 86, 87cbviun 4367 . . . . . . . . . . . . . . 15
8984, 88syl6sseqr 3550 . . . . . . . . . . . . . 14
9083, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
9182simprd 463 . . . . . . . . . . . . . 14
92 ssiun2 4373 . . . . . . . . . . . . . . 15
93 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . 16
94 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . . . . . . . . 16
95 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9693, 94, 95cbviun 4367 . . . . . . . . . . . . . . 15
9792, 96syl6sseqr 3550 . . . . . . . . . . . . . 14
9891, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
99 ss2in 3724 . . . . . . . . . . . . 13
10090, 98, 99syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
101 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15
102101ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14
103 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . 15
104 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . . . . . . . . 16
105104, 2nfiun 4358 . . . . . . . . . . . . . . 15
106 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . . . . . . . 16
107106iuneq1d 4355 . . . . . . . . . . . . . . 15
108103, 105, 107cbvdisj 4432 . . . . . . . . . . . . . 14
109102, 108sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13
11063ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13
111 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . 14
112111ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13
113 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13
114 csbeq1 3437 . . . . . . . . . . . . . . 15
115114iuneq1d 4355 . . . . . . . . . . . . . 14
116 csbeq1 3437 . . . . . . . . . . . . . . 15
117116iuneq1d 4355 . . . . . . . . . . . . . 14
118115, 117disji2 4439 . . . . . . . . . . . . 13
119109, 110, 112, 113, 118syl121anc 1233 . . . . . . . . . . . 12
120 sseq0 3817 . . . . . . . . . . . 12
121100, 119, 120syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
12281, 121pm2.61dane 2775 . . . . . . . . . 10
123122expr 615 . . . . . . . . 9
124123orrd 378 . . . . . . . 8
125124ex 434 . . . . . . 7
126125rexlimdvva 2956 . . . . . 6
12761, 126syl5bi 217 . . . . 5
128127ralrimivv 2877 . . . 4
129 disjors 4438 . . . 4
130128, 129sylibr 212 . . 3
131130ex 434 . 2
13248, 131impbid 191 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  [_csb 3434  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  U_ciun 4330  Disj_wdisj 4422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-iun 4332  df-disj 4423
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