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Theorem disjxun 4450
Description: The union of two disjoint collections. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
disjxun.1
Assertion
Ref Expression
disjxun
Distinct variable groups:   , ,   , ,   ,   ,

Proof of Theorem disjxun
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 disjel 3873 . . . . . . . . . . 11
2 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . 12
32notbid 294 . . . . . . . . . . 11
41, 3syl5ibcom 220 . . . . . . . . . 10
54con2d 115 . . . . . . . . 9
65impr 619 . . . . . . . 8
7 biorf 405 . . . . . . . 8
86, 7syl 16 . . . . . . 7
98bicomd 201 . . . . . 6
1092ralbidva 2899 . . . . 5
1110anbi2d 703 . . . 4
12 ralunb 3684 . . . . . 6
1312ralbii 2888 . . . . 5
14 nfv 1707 . . . . . 6
15 nfcv 2619 . . . . . . 7
16 nfv 1707 . . . . . . . 8
17 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . . 10
18 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . . 10
1917, 18nfin 3704 . . . . . . . . 9
2019nfeq1 2634 . . . . . . . 8
2116, 20nfor 1935 . . . . . . 7
2215, 21nfral 2843 . . . . . 6
23 equequ2 1799 . . . . . . . . 9
24 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . 12
25 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . 12
26 disjxun.1 . . . . . . . . . . . 12
2724, 25, 26csbhypf 3453 . . . . . . . . . . 11
2827ineq2d 3699 . . . . . . . . . 10
2928eqeq1d 2459 . . . . . . . . 9
3023, 29orbi12d 709 . . . . . . . 8
3130cbvralv 3084 . . . . . . 7
32 equequ1 1798 . . . . . . . . 9
33 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . . 11
3433ineq1d 3698 . . . . . . . . . 10
3534eqeq1d 2459 . . . . . . . . 9
3632, 35orbi12d 709 . . . . . . . 8
3736ralbidv 2896 . . . . . . 7
3831, 37syl5bbr 259 . . . . . 6
3914, 22, 38cbvral 3080 . . . . 5
40 r19.26 2984 . . . . 5
4113, 39, 403bitr3i 275 . . . 4
4226disjor 4436 . . . . 5
4342anbi1i 695 . . . 4
4411, 41, 433bitr4g 288 . . 3
45 nfv 1707 . . . . . . . . . 10
46 equequ2 1799 . . . . . . . . . . 11
47 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . . . . 13
4847ineq2d 3699 . . . . . . . . . . . 12
4948eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . 11
5046, 49orbi12d 709 . . . . . . . . . 10
5145, 21, 50cbvral 3080 . . . . . . . . 9
52 equequ1 1798 . . . . . . . . . . . 12
53 equcom 1794 . . . . . . . . . . . 12
5452, 53syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11
5524, 25, 26csbhypf 3453 . . . . . . . . . . . . . 14
5655ineq1d 3698 . . . . . . . . . . . . 13
57 incom 3690 . . . . . . . . . . . . 13
5856, 57syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . 12
5958eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . 11
6054, 59orbi12d 709 . . . . . . . . . 10
6160ralbidv 2896 . . . . . . . . 9
6251, 61syl5bbr 259 . . . . . . . 8
6362cbvralv 3084 . . . . . . 7
64 ralcom 3018 . . . . . . 7
6563, 64bitri 249 . . . . . 6
6665, 10syl5bb 257 . . . . 5
6766anbi1d 704 . . . 4
68 ralunb 3684 . . . . . 6
6968ralbii 2888 . . . . 5
70 r19.26 2984 . . . . 5
7169, 70bitri 249 . . . 4
72 disjors 4438 . . . . 5
7372anbi2ci 696 . . . 4
7467, 71, 733bitr4g 288 . . 3
7544, 74anbi12d 710 . 2
76 disjors 4438 . . 3
77 ralunb 3684 . . 3
7876, 77bitri 249 . 2
79 df-3an 975 . . 3
80 anandir 829 . . 3
8179, 80bitri 249 . 2
8275, 78, 813bitr4g 288 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  [_csb 3434  u.cun 3473  i^icin 3474   c0 3784  Disj_wdisj 4422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-nul 3785  df-disj 4423
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