Theorem disjxun 4450

Description: The union of two disjoint collections. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
disjxun.1

Assertion

Ref	Expression
disjxun

Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,   ,

Proof of Theorem disjxun

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjel 3873	. . . . . . . . . . 11
2		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . 12
3	2	notbid 294	. . . . . . . . . . 11
4	1, 3	syl5ibcom 220	. . . . . . . . . 10
5	4	con2d 115	. . . . . . . . 9
6	5	impr 619	. . . . . . . 8
7		biorf 405	. . . . . . . 8
8	6, 7	syl 16	. . . . . . 7
9	8	bicomd 201	. . . . . 6
10	9	2ralbidva 2899	. . . . 5
11	10	anbi2d 703	. . . 4
12		ralunb 3684	. . . . . 6
13	12	ralbii 2888	. . . . 5
14		nfv 1707	. . . . . 6
15		nfcv 2619	. . . . . . 7
16		nfv 1707	. . . . . . . 8
17		nfcsb1v 3450	. . . . . . . . . 10
18		nfcsb1v 3450	. . . . . . . . . 10
19	17, 18	nfin 3704	. . . . . . . . 9
20	19	nfeq1 2634	. . . . . . . 8
21	16, 20	nfor 1935	. . . . . . 7
22	15, 21	nfral 2843	. . . . . 6
23		equequ2 1799	. . . . . . . . 9
24		nfcv 2619	. . . . . . . . . . . 12
25		nfcv 2619	. . . . . . . . . . . 12
26		disjxun.1	. . . . . . . . . . . 12
27	24, 25, 26	csbhypf 3453	. . . . . . . . . . 11
28	27	ineq2d 3699	. . . . . . . . . 10
29	28	eqeq1d 2459	. . . . . . . . 9
30	23, 29	orbi12d 709	. . . . . . . 8
31	30	cbvralv 3084	. . . . . . 7
32		equequ1 1798	. . . . . . . . 9
33		csbeq1a 3443	. . . . . . . . . . 11
34	33	ineq1d 3698	. . . . . . . . . 10
35	34	eqeq1d 2459	. . . . . . . . 9
36	32, 35	orbi12d 709	. . . . . . . 8
37	36	ralbidv 2896	. . . . . . 7
38	31, 37	syl5bbr 259	. . . . . 6
39	14, 22, 38	cbvral 3080	. . . . 5
40		r19.26 2984	. . . . 5
41	13, 39, 40	3bitr3i 275	. . . 4
42	26	disjor 4436	. . . . 5
43	42	anbi1i 695	. . . 4
44	11, 41, 43	3bitr4g 288	. . 3
45		nfv 1707	. . . . . . . . . 10
46		equequ2 1799	. . . . . . . . . . 11
47		csbeq1a 3443	. . . . . . . . . . . . 13
48	47	ineq2d 3699	. . . . . . . . . . . 12
49	48	eqeq1d 2459	. . . . . . . . . . 11
50	46, 49	orbi12d 709	. . . . . . . . . 10
51	45, 21, 50	cbvral 3080	. . . . . . . . 9
52		equequ1 1798	. . . . . . . . . . . 12
53		equcom 1794	. . . . . . . . . . . 12
54	52, 53	syl6bb 261	. . . . . . . . . . 11
55	24, 25, 26	csbhypf 3453	. . . . . . . . . . . . . 14
56	55	ineq1d 3698	. . . . . . . . . . . . 13
57		incom 3690	. . . . . . . . . . . . 13
58	56, 57	syl6eq 2514	. . . . . . . . . . . 12
59	58	eqeq1d 2459	. . . . . . . . . . 11
60	54, 59	orbi12d 709	. . . . . . . . . 10
61	60	ralbidv 2896	. . . . . . . . 9
62	51, 61	syl5bbr 259	. . . . . . . 8
63	62	cbvralv 3084	. . . . . . 7
64		ralcom 3018	. . . . . . 7
65	63, 64	bitri 249	. . . . . 6
66	65, 10	syl5bb 257	. . . . 5
67	66	anbi1d 704	. . . 4
68		ralunb 3684	. . . . . 6
69	68	ralbii 2888	. . . . 5
70		r19.26 2984	. . . . 5
71	69, 70	bitri 249	. . . 4
72		disjors 4438	. . . . 5
73	72	anbi2ci 696	. . . 4
74	67, 71, 73	3bitr4g 288	. . 3
75	44, 74	anbi12d 710	. 2
76		disjors 4438	. . 3
77		ralunb 3684	. . 3
78	76, 77	bitri 249	. 2
79		df-3an 975	. . 3
80		anandir 829	. . 3
81	79, 80	bitri 249	. 2
82	75, 78, 81	3bitr4g 288	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  [_csb 3434  u.cun 3473  i^icin 3474  c0 3784  Disj_wdisj 4422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-nul 3785  df-disj 4423