Theorem distrlem1pr 9424

Description: Lemma for distributive law for positive reals. (Contributed by NM, 1-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
distrlem1pr

Proof of Theorem distrlem1pr

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addclpr 9417	. . . . 5
2		df-mp 9383	. . . . . 6
3		mulclnq 9346	. . . . . 6
4	2, 3	genpelv 9399	. . . . 5
5	1, 4	sylan2 474	. . . 4
6	5	3impb 1192	. . 3
7		df-plp 9382	. . . . . . . . . . 11
8		addclnq 9344	. . . . . . . . . . 11
9	7, 8	genpelv 9399	. . . . . . . . . 10
10	9	3adant1 1014	. . . . . . . . 9
11	10	adantr 465	. . . . . . . 8
12		simprr 757	. . . . . . . . . . . 12
13		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12
14		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . . . . 15
15	14	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . . . . . 14
16	15	biimpac 486	. . . . . . . . . . . . 13
17		distrnq 9360	. . . . . . . . . . . . 13
18	16, 17	syl6eq 2514	. . . . . . . . . . . 12
19	12, 13, 18	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11
20		mulclpr 9419	. . . . . . . . . . . . . 14
21	20	3adant3 1016	. . . . . . . . . . . . 13
22	21	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12
23		mulclpr 9419	. . . . . . . . . . . . . 14
24	23	3adant2 1015	. . . . . . . . . . . . 13
25	24	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12
26		simpll 753	. . . . . . . . . . . . 13
27	2, 3	genpprecl 9400	. . . . . . . . . . . . . . . 16
28	27	3adant3 1016	. . . . . . . . . . . . . . 15
29	28	impl 620	. . . . . . . . . . . . . 14
30	29	adantlrr 720	. . . . . . . . . . . . 13
31	26, 30	sylan2 474	. . . . . . . . . . . 12
32		simplr 755	. . . . . . . . . . . . 13
33	2, 3	genpprecl 9400	. . . . . . . . . . . . . . . 16
34	33	3adant2 1015	. . . . . . . . . . . . . . 15
35	34	impl 620	. . . . . . . . . . . . . 14
36	35	adantlrr 720	. . . . . . . . . . . . 13
37	32, 36	sylan2 474	. . . . . . . . . . . 12
38	7, 8	genpprecl 9400	. . . . . . . . . . . . 13
39	38	imp 429	. . . . . . . . . . . 12
40	22, 25, 31, 37, 39	syl22anc 1229	. . . . . . . . . . 11
41	19, 40	eqeltrd 2545	. . . . . . . . . 10
42	41	exp32 605	. . . . . . . . 9
43	42	rexlimdvv 2955	. . . . . . . 8
44	11, 43	sylbid 215	. . . . . . 7
45	44	exp32 605	. . . . . 6
46	45	com34 83	. . . . 5
47	46	impd 431	. . . 4
48	47	rexlimdvv 2955	. . 3
49	6, 48	sylbid 215	. 2
50	49	ssrdv 3509	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808  C_wss 3475  (class class class)co 6296  cplq 9254  cmq 9255  cnp 9258  cpp 9260  cmp 9261

This theorem is referenced by:  distrpr  9427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-ni 9271  df-pli 9272  df-mi 9273  df-lti 9274  df-plpq 9307  df-mpq 9308  df-ltpq 9309  df-enq 9310  df-nq 9311  df-erq 9312  df-plq 9313  df-mq 9314  df-1nq 9315  df-rq 9316  df-ltnq 9317  df-np 9380  df-plp 9382  df-mp 9383