MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  distrlem1pr Unicode version

Theorem distrlem1pr 9424
Description: Lemma for distributive law for positive reals. (Contributed by NM, 1-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
distrlem1pr

Proof of Theorem distrlem1pr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addclpr 9417 . . . . 5
2 df-mp 9383 . . . . . 6
3 mulclnq 9346 . . . . . 6
42, 3genpelv 9399 . . . . 5
51, 4sylan2 474 . . . 4
653impb 1192 . . 3
7 df-plp 9382 . . . . . . . . . . 11
8 addclnq 9344 . . . . . . . . . . 11
97, 8genpelv 9399 . . . . . . . . . 10
1093adant1 1014 . . . . . . . . 9
1110adantr 465 . . . . . . . 8
12 simprr 757 . . . . . . . . . . . 12
13 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12
14 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . 15
1514eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . 14
1615biimpac 486 . . . . . . . . . . . . 13
17 distrnq 9360 . . . . . . . . . . . . 13
1816, 17syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . 12
1912, 13, 18syl2an 477 . . . . . . . . . . 11
20 mulclpr 9419 . . . . . . . . . . . . . 14
21203adant3 1016 . . . . . . . . . . . . 13
2221ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12
23 mulclpr 9419 . . . . . . . . . . . . . 14
24233adant2 1015 . . . . . . . . . . . . 13
2524ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12
26 simpll 753 . . . . . . . . . . . . 13
272, 3genpprecl 9400 . . . . . . . . . . . . . . . 16
28273adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . 15
2928impl 620 . . . . . . . . . . . . . 14
3029adantlrr 720 . . . . . . . . . . . . 13
3126, 30sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12
32 simplr 755 . . . . . . . . . . . . 13
332, 3genpprecl 9400 . . . . . . . . . . . . . . . 16
34333adant2 1015 . . . . . . . . . . . . . . 15
3534impl 620 . . . . . . . . . . . . . 14
3635adantlrr 720 . . . . . . . . . . . . 13
3732, 36sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12
387, 8genpprecl 9400 . . . . . . . . . . . . 13
3938imp 429 . . . . . . . . . . . 12
4022, 25, 31, 37, 39syl22anc 1229 . . . . . . . . . . 11
4119, 40eqeltrd 2545 . . . . . . . . . 10
4241exp32 605 . . . . . . . . 9
4342rexlimdvv 2955 . . . . . . . 8
4411, 43sylbid 215 . . . . . . 7
4544exp32 605 . . . . . 6
4645com34 83 . . . . 5
4746impd 431 . . . 4
4847rexlimdvv 2955 . . 3
496, 48sylbid 215 . 2
5049ssrdv 3509 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808  C_wss 3475  (class class class)co 6296   cplq 9254   cmq 9255   cnp 9258   cpp 9260   cmp 9261
This theorem is referenced by:  distrpr  9427
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-ni 9271  df-pli 9272  df-mi 9273  df-lti 9274  df-plpq 9307  df-mpq 9308  df-ltpq 9309  df-enq 9310  df-nq 9311  df-erq 9312  df-plq 9313  df-mq 9314  df-1nq 9315  df-rq 9316  df-ltnq 9317  df-np 9380  df-plp 9382  df-mp 9383
  Copyright terms: Public domain W3C validator