Theorem distrlem4pr 9425

Description: Lemma for distributive law for positive reals. (Contributed by NM, 2-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
distrlem4pr

Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,,,

Proof of Theorem distrlem4pr

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1000	. . . . 5
2		simprlr 764	. . . . 5
3		elprnq 9390	. . . . 5
4	1, 2, 3	syl2anc 661	. . . 4
5		simp1 996	. . . . 5
6		simprl 756	. . . . 5
7		elprnq 9390	. . . . 5
8	5, 6, 7	syl2an 477	. . . 4
9		simpl3 1001	. . . . 5
10		simprrr 766	. . . . 5
11		elprnq 9390	. . . . 5
12	9, 10, 11	syl2anc 661	. . . 4
13		vex 3112	. . . . . 6
14		vex 3112	. . . . . 6
15		ltmnq 9371	. . . . . 6
16		vex 3112	. . . . . 6
17		mulcomnq 9352	. . . . . 6
18	13, 14, 15, 16, 17	caovord2 6487	. . . . 5
19		mulclnq 9346	. . . . . 6
20		ovex 6324	. . . . . . 7
21		ovex 6324	. . . . . . 7
22		ltanq 9370	. . . . . . 7
23		ovex 6324	. . . . . . 7
24		addcomnq 9350	. . . . . . 7
25	20, 21, 22, 23, 24	caovord2 6487	. . . . . 6
26	19, 25	syl 16	. . . . 5
27	18, 26	sylan9bb 699	. . . 4
28	4, 8, 12, 27	syl12anc 1226	. . 3
29		simpl1 999	. . . . 5
30		addclpr 9417	. . . . . . 7
31	30	3adant1 1014	. . . . . 6
32	31	adantr 465	. . . . 5
33		mulclpr 9419	. . . . 5
34	29, 32, 33	syl2anc 661	. . . 4
35		distrnq 9360	. . . . 5
36		simprrl 765	. . . . . 6
37		df-plp 9382	. . . . . . . . 9
38		addclnq 9344	. . . . . . . . 9
39	37, 38	genpprecl 9400	. . . . . . . 8
40	39	imp 429	. . . . . . 7
41	1, 9, 2, 10, 40	syl22anc 1229	. . . . . 6
42		df-mp 9383	. . . . . . . 8
43		mulclnq 9346	. . . . . . . 8
44	42, 43	genpprecl 9400	. . . . . . 7
45	44	imp 429	. . . . . 6
46	29, 32, 36, 41, 45	syl22anc 1229	. . . . 5
47	35, 46	syl5eqelr 2550	. . . 4
48		prcdnq 9392	. . . 4
49	34, 47, 48	syl2anc 661	. . 3
50	28, 49	sylbid 215	. 2
51		simpll 753	. . . . 5
52		elprnq 9390	. . . . 5
53	5, 51, 52	syl2an 477	. . . 4
54		vex 3112	. . . . . 6
55	14, 13, 15, 54, 17	caovord2 6487	. . . . 5
56		mulclnq 9346	. . . . . 6
57		ltanq 9370	. . . . . 6
58	56, 57	syl 16	. . . . 5
59	55, 58	sylan9bbr 700	. . . 4
60	53, 4, 12, 59	syl21anc 1227	. . 3
61		distrnq 9360	. . . . 5
62		simprll 763	. . . . . 6
63	42, 43	genpprecl 9400	. . . . . . 7
64	63	imp 429	. . . . . 6
65	29, 32, 62, 41, 64	syl22anc 1229	. . . . 5
66	61, 65	syl5eqelr 2550	. . . 4
67		prcdnq 9392	. . . 4
68	34, 66, 67	syl2anc 661	. . 3
69	60, 68	sylbid 215	. 2
70		ltsonq 9368	. . . . 5
71		sotrieq 4832	. . . . 5
72	70, 71	mpan 670	. . . 4
73	53, 8, 72	syl2anc 661	. . 3
74		oveq1 6303	. . . . . . 7
75	74	oveq2d 6312	. . . . . 6
76	61, 75	syl5eq 2510	. . . . 5
77	76	eleq1d 2526	. . . 4
78	65, 77	syl5ibcom 220	. . 3
79	73, 78	sylbird 235	. 2
80	50, 69, 79	ecase3d 943	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  Orwor 4804  (class class class)co 6296  cnq 9251  cplq 9254  cmq 9255  cltq 9257  cnp 9258  cpp 9260  cmp 9261

This theorem is referenced by:  distrlem5pr  9426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-ni 9271  df-pli 9272  df-mi 9273  df-lti 9274  df-plpq 9307  df-mpq 9308  df-ltpq 9309  df-enq 9310  df-nq 9311  df-erq 9312  df-plq 9313  df-mq 9314  df-1nq 9315  df-rq 9316  df-ltnq 9317  df-np 9380  df-plp 9382  df-mp 9383