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Theorem distrnq 9360
Description: Multiplication of positive fractions is distributive. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
distrnq

Proof of Theorem distrnq
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulcompi 9295 . . . . . . . . . . . . 13
21oveq1i 6306 . . . . . . . . . . . 12
3 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . 13
4 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . 13
5 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . 13
6 mulcompi 9295 . . . . . . . . . . . . 13
7 mulasspi 9296 . . . . . . . . . . . . 13
8 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . 13
93, 4, 5, 6, 7, 8caov411 6507 . . . . . . . . . . . 12
102, 9eqtri 2486 . . . . . . . . . . 11
11 mulcompi 9295 . . . . . . . . . . . . 13
1211oveq1i 6306 . . . . . . . . . . . 12
13 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . 13
14 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . 13
1513, 4, 5, 6, 7, 14caov411 6507 . . . . . . . . . . . 12
1612, 15eqtri 2486 . . . . . . . . . . 11
1710, 16oveq12i 6308 . . . . . . . . . 10
18 distrpi 9297 . . . . . . . . . 10
19 mulasspi 9296 . . . . . . . . . 10
2017, 18, 193eqtr2i 2492 . . . . . . . . 9
21 mulasspi 9296 . . . . . . . . . 10
2214, 5, 8, 6, 7caov12 6503 . . . . . . . . . . 11
2322oveq2i 6307 . . . . . . . . . 10
2421, 23eqtri 2486 . . . . . . . . 9
2520, 24opeq12i 4222 . . . . . . . 8
26 elpqn 9324 . . . . . . . . . . 11
27263ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10
28 xp2nd 6831 . . . . . . . . . 10
2927, 28syl 16 . . . . . . . . 9
30 xp1st 6830 . . . . . . . . . . 11
3127, 30syl 16 . . . . . . . . . 10
32 elpqn 9324 . . . . . . . . . . . . . 14
33323ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . 13
34 xp1st 6830 . . . . . . . . . . . . 13
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . . 12
36 elpqn 9324 . . . . . . . . . . . . . 14
37363ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . 13
38 xp2nd 6831 . . . . . . . . . . . . 13
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . . 12
40 mulclpi 9292 . . . . . . . . . . . 12
4135, 39, 40syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
42 xp1st 6830 . . . . . . . . . . . . 13
4337, 42syl 16 . . . . . . . . . . . 12
44 xp2nd 6831 . . . . . . . . . . . . 13
4533, 44syl 16 . . . . . . . . . . . 12
46 mulclpi 9292 . . . . . . . . . . . 12
4743, 45, 46syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
48 addclpi 9291 . . . . . . . . . . 11
4941, 47, 48syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
50 mulclpi 9292 . . . . . . . . . 10
5131, 49, 50syl2anc 661 . . . . . . . . 9
52 mulclpi 9292 . . . . . . . . . . 11
5345, 39, 52syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
54 mulclpi 9292 . . . . . . . . . 10
5529, 53, 54syl2anc 661 . . . . . . . . 9
56 mulcanenq 9359 . . . . . . . . 9
5729, 51, 55, 56syl3anc 1228 . . . . . . . 8
5825, 57syl5eqbr 4485 . . . . . . 7
59 mulpipq2 9338 . . . . . . . . . 10
6027, 33, 59syl2anc 661 . . . . . . . . 9
61 mulpipq2 9338 . . . . . . . . . 10
6227, 37, 61syl2anc 661 . . . . . . . . 9
6360, 62oveq12d 6314 . . . . . . . 8
64 mulclpi 9292 . . . . . . . . . 10
6531, 35, 64syl2anc 661 . . . . . . . . 9
66 mulclpi 9292 . . . . . . . . . 10
6729, 45, 66syl2anc 661 . . . . . . . . 9
68 mulclpi 9292 . . . . . . . . . 10
6931, 43, 68syl2anc 661 . . . . . . . . 9
70 mulclpi 9292 . . . . . . . . . 10
7129, 39, 70syl2anc 661 . . . . . . . . 9
72 addpipq 9336 . . . . . . . . 9
7365, 67, 69, 71, 72syl22anc 1229 . . . . . . . 8
7463, 73eqtrd 2498 . . . . . . 7
75 relxp 5115 . . . . . . . . . 10
76 1st2nd 6846 . . . . . . . . . 10
7775, 27, 76sylancr 663 . . . . . . . . 9
78 addpipq2 9335 . . . . . . . . . 10
7933, 37, 78syl2anc 661 . . . . . . . . 9
8077, 79oveq12d 6314 . . . . . . . 8
81 mulpipq 9339 . . . . . . . . 9
8231, 29, 49, 53, 81syl22anc 1229 . . . . . . . 8
8380, 82eqtrd 2498 . . . . . . 7
8458, 74, 833brtr4d 4482 . . . . . 6
85 mulpqf 9345 . . . . . . . . . 10
8685fovcl 6407 . . . . . . . . 9
8727, 33, 86syl2anc 661 . . . . . . . 8
8885fovcl 6407 . . . . . . . . 9
8927, 37, 88syl2anc 661 . . . . . . . 8
90 addpqf 9343 . . . . . . . . 9
9190fovcl 6407 . . . . . . . 8
9287, 89, 91syl2anc 661 . . . . . . 7
9390fovcl 6407 . . . . . . . . 9
9433, 37, 93syl2anc 661 . . . . . . . 8
9585fovcl 6407 . . . . . . . 8
9627, 94, 95syl2anc 661 . . . . . . 7
97 nqereq 9334 . . . . . . 7
9892, 96, 97syl2anc 661 . . . . . 6
9984, 98mpbid 210 . . . . 5
10099eqcomd 2465 . . . 4
101 mulerpq 9356 . . . 4
102 adderpq 9355 . . . 4
103100, 101, 1023eqtr4g 2523 . . 3
104 nqerid 9332 . . . . . 6
105104eqcomd 2465 . . . . 5
1061053ad2ant1 1017 . . . 4
107 addpqnq 9337 . . . . 5
1081073adant1 1014 . . . 4
109106, 108oveq12d 6314 . . 3
110 mulpqnq 9340 . . . . 5
1111103adant3 1016 . . . 4
112 mulpqnq 9340 . . . . 5
1131123adant2 1015 . . . 4
114111, 113oveq12d 6314 . . 3
115103, 109, 1143eqtr4d 2508 . 2
116 addnqf 9347 . . . 4
117116fdmi 5741 . . 3
118 0nnq 9323 . . 3
119 mulnqf 9348 . . . 4
120119fdmi 5741 . . 3
121117, 118, 120ndmovdistr 6464 . 2
122115, 121pm2.61i 164 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  <->wb 184  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  <.cop 4035   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  Relwrel 5009  `cfv 5593  (class class class)co 6296   c1st 6798   c2nd 6799   cnpi 9243   cpli 9244   cmi 9245   cplpq 9247   cmpq 9248   ceq 9250   cnq 9251   cerq 9253   cplq 9254   cmq 9255
This theorem is referenced by:  ltaddnq  9373  halfnq  9375  addclprlem2  9416  distrlem1pr  9424  distrlem4pr  9425  prlem934  9432  prlem936  9446
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-ni 9271  df-pli 9272  df-mi 9273  df-lti 9274  df-plpq 9307  df-mpq 9308  df-enq 9310  df-nq 9311  df-erq 9312  df-plq 9313  df-mq 9314  df-1nq 9315
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