MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  distrsr Unicode version

Theorem distrsr 9489
Description: Multiplication of signed reals is distributive. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
distrsr

Proof of Theorem distrsr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 9455 . . 3
2 addsrpr 9473 . . 3
3 mulsrpr 9474 . . 3
4 mulsrpr 9474 . . 3
5 mulsrpr 9474 . . 3
6 addsrpr 9473 . . 3
7 addclpr 9417 . . . . 5
8 addclpr 9417 . . . . 5
97, 8anim12i 566 . . . 4
109an4s 826 . . 3
11 mulclpr 9419 . . . . . 6
12 mulclpr 9419 . . . . . 6
13 addclpr 9417 . . . . . 6
1411, 12, 13syl2an 477 . . . . 5
1514an4s 826 . . . 4
16 mulclpr 9419 . . . . . 6
17 mulclpr 9419 . . . . . 6
18 addclpr 9417 . . . . . 6
1916, 17, 18syl2an 477 . . . . 5
2019an42s 827 . . . 4
2115, 20jca 532 . . 3
22 mulclpr 9419 . . . . . 6
23 mulclpr 9419 . . . . . 6
24 addclpr 9417 . . . . . 6
2522, 23, 24syl2an 477 . . . . 5
2625an4s 826 . . . 4
27 mulclpr 9419 . . . . . 6
28 mulclpr 9419 . . . . . 6
29 addclpr 9417 . . . . . 6
3027, 28, 29syl2an 477 . . . . 5
3130an42s 827 . . . 4
3226, 31jca 532 . . 3
33 distrpr 9427 . . . . 5
34 distrpr 9427 . . . . 5
3533, 34oveq12i 6308 . . . 4
36 ovex 6324 . . . . 5
37 ovex 6324 . . . . 5
38 ovex 6324 . . . . 5
39 addcompr 9420 . . . . 5
40 addasspr 9421 . . . . 5
41 ovex 6324 . . . . 5
4236, 37, 38, 39, 40, 41caov4 6506 . . . 4
4335, 42eqtri 2486 . . 3
44 distrpr 9427 . . . . 5
45 distrpr 9427 . . . . 5
4644, 45oveq12i 6308 . . . 4
47 ovex 6324 . . . . 5
48 ovex 6324 . . . . 5
49 ovex 6324 . . . . 5
50 ovex 6324 . . . . 5
5147, 48, 49, 39, 40, 50caov4 6506 . . . 4
5246, 51eqtri 2486 . . 3
531, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 21, 32, 43, 52ecovdi 7438 . 2
54 dmaddsr 9483 . . 3
55 0nsr 9477 . . 3
56 dmmulsr 9484 . . 3
5754, 55, 56ndmovdistr 6464 . 2
5853, 57pm2.61i 164 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  (class class class)co 6296   cnp 9258   cpp 9260   cmp 9261   cer 9263   cnr 9264   cplr 9268   cmr 9269
This theorem is referenced by:  pn0sr  9499  axmulass  9555  axdistr  9556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-ec 7332  df-qs 7336  df-ni 9271  df-pli 9272  df-mi 9273  df-lti 9274  df-plpq 9307  df-mpq 9308  df-ltpq 9309  df-enq 9310  df-nq 9311  df-erq 9312  df-plq 9313  df-mq 9314  df-1nq 9315  df-rq 9316  df-ltnq 9317  df-np 9380  df-plp 9382  df-mp 9383  df-ltp 9384  df-enr 9454  df-nr 9455  df-plr 9456  df-mr 9457
  Copyright terms: Public domain W3C validator