Theorem divadddiv 10284

Description: Addition of two ratios. Theorem I.13 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
divadddiv

Proof of Theorem divadddiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcl 9597	. . . . 5
2	1	ad2ant2r 746	. . . 4
3	2	adantrl 715	. . 3
4		mulcl 9597	. . . . 5
5	4	adantrr 716	. . . 4
6	5	ad2ant2lr 747	. . 3
7		mulcl 9597	. . . . . 6
8	7	ad2ant2r 746	. . . . 5
9		mulne0 10216	. . . . 5
10	8, 9	jca 532	. . . 4
11	10	adantl 466	. . 3
12		divdir 10255	. . 3
13	3, 6, 11, 12	syl3anc 1228	. 2
14		simpll 753	. . . . . 6
15		simprr 757	. . . . . . 7
16	15	simpld 459	. . . . . 6
17	14, 16	mulcomd 9638	. . . . 5
18		simprll 763	. . . . . 6
19	18, 16	mulcomd 9638	. . . . 5
20	17, 19	oveq12d 6314	. . . 4
21		simprl 756	. . . . 5
22		divcan5 10271	. . . . 5
23	14, 21, 15, 22	syl3anc 1228	. . . 4
24	20, 23	eqtrd 2498	. . 3
25		simplr 755	. . . . . 6
26	25, 18	mulcomd 9638	. . . . 5
27	26	oveq1d 6311	. . . 4
28		divcan5 10271	. . . . 5
29	25, 15, 21, 28	syl3anc 1228	. . . 4
30	27, 29	eqtrd 2498	. . 3
31	24, 30	oveq12d 6314	. 2
32	13, 31	eqtr2d 2499	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  (class class class)co 6296  cc 9511  0cc0 9513  caddc 9516  cmul 9518  cdiv 10231

This theorem is referenced by:  divsubdiv  10285  divadddivi  10331  divadddivd  10389  qaddcl  11227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232