MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalgb Unicode version

Theorem divalgb 14062
Description: Express the division algorithm as stated in divalg 14061 in terms of . (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
divalgb
Distinct variable groups:   , ,   N, ,

Proof of Theorem divalgb
StepHypRef Expression
1 zsubcl 10931 . . . . . . . . . . . 12
2 divides 13988 . . . . . . . . . . . 12
31, 2sylan2 474 . . . . . . . . . . 11
433impb 1192 . . . . . . . . . 10
543com12 1200 . . . . . . . . 9
6 zcn 10894 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7 zcn 10894 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8 zmulcl 10937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
98zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10 subadd 9846 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
116, 7, 9, 10syl3an 1270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
12 addcom 9787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
137, 9, 12syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
14133adant1 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1514eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1611, 15bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . 16
17 eqcom 2466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
18 eqcom 2466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1916, 17, 183bitr3g 287 . . . . . . . . . . . . . . 15
20193expia 1198 . . . . . . . . . . . . . 14
2120expcomd 438 . . . . . . . . . . . . 13
22213impia 1193 . . . . . . . . . . . 12
2322imp 429 . . . . . . . . . . 11
2423rexbidva 2965 . . . . . . . . . 10
25243com23 1202 . . . . . . . . 9
265, 25bitrd 253 . . . . . . . 8
2726anbi2d 703 . . . . . . 7
28 df-3an 975 . . . . . . . . 9
2928rexbii 2959 . . . . . . . 8
30 r19.42v 3012 . . . . . . . 8
3129, 30bitri 249 . . . . . . 7
3227, 31syl6rbbr 264 . . . . . 6
33 anass 649 . . . . . 6
3432, 33syl6bb 261 . . . . 5
35343expa 1196 . . . 4
3635reubidva 3041 . . 3
37 elnn0z 10902 . . . . . . 7
3837anbi1i 695 . . . . . 6
39 anass 649 . . . . . 6
4038, 39bitri 249 . . . . 5
4140eubii 2306 . . . 4
42 df-reu 2814 . . . 4
43 df-reu 2814 . . . 4
4441, 42, 433bitr4ri 278 . . 3
4536, 44syl6bb 261 . 2
46453adant3 1016 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  E!weu 2282  =/=wne 2652  E.wrex 2808  E!wreu 2809   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cn0 10820   cz 10889   cabs 13067   cdvds 13986
This theorem is referenced by:  divalg2  14063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-dvds 13987
  Copyright terms: Public domain W3C validator