MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem8 Unicode version

Theorem divalglem8 14058
Description: Lemma for divalg 14061. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem8.1
divalglem8.2
divalglem8.3
divalglem8.4
Assertion
Ref Expression
divalglem8
Distinct variable groups:   ,   N,

Proof of Theorem divalglem8
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divalglem8.4 . . . . . . . . . . . . 13
2 ssrab2 3584 . . . . . . . . . . . . 13
31, 2eqsstri 3533 . . . . . . . . . . . 12
4 nn0sscn 10825 . . . . . . . . . . . 12
53, 4sstri 3512 . . . . . . . . . . 11
65sseli 3499 . . . . . . . . . 10
75sseli 3499 . . . . . . . . . 10
8 divalglem8.2 . . . . . . . . . . . . . 14
9 divalglem8.3 . . . . . . . . . . . . . 14
10 nnabscl 13158 . . . . . . . . . . . . . 14
118, 9, 10mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13
1211nnzi 10913 . . . . . . . . . . . 12
13 zmulcl 10937 . . . . . . . . . . . 12
1412, 13mpan2 671 . . . . . . . . . . 11
1514zcnd 10995 . . . . . . . . . 10
16 subadd 9846 . . . . . . . . . 10
176, 7, 15, 16syl3an 1270 . . . . . . . . 9
18173com12 1200 . . . . . . . 8
19 eqcom 2466 . . . . . . . 8
20 eqcom 2466 . . . . . . . 8
2118, 19, 203bitr3g 287 . . . . . . 7
22213adant1r 1221 . . . . . 6
23223adant2r 1223 . . . . 5
24 breq1 4455 . . . . . . . . . . . 12
25 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . 12
2624, 25imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11
273sseli 3499 . . . . . . . . . . . . . . . 16
28 elnn0z 10902 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2927, 28sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15
3029anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . 14
31 df-3an 975 . . . . . . . . . . . . . 14
3230, 31sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13
33 0z 10900 . . . . . . . . . . . . . 14
34 elfzm11 11778 . . . . . . . . . . . . . 14
3533, 12, 34mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13
3632, 35sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12
3736ex 434 . . . . . . . . . . 11
3826, 37vtoclga 3173 . . . . . . . . . 10
39 eleq1 2529 . . . . . . . . . . 11
4039biimpd 207 . . . . . . . . . 10
4138, 40sylan9 657 . . . . . . . . 9
4241impancom 440 . . . . . . . 8
43423ad2ant2 1018 . . . . . . 7
44 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . 13
45 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . 13
4644, 45imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12
4746, 37vtoclga 3173 . . . . . . . . . . 11
4847imp 429 . . . . . . . . . 10
498, 9divalglem7 14057 . . . . . . . . . 10
5048, 49sylan 471 . . . . . . . . 9
51503adant2 1015 . . . . . . . 8
5251con2d 115 . . . . . . 7
5343, 52syld 44 . . . . . 6
54 df-ne 2654 . . . . . . 7
5554con2bii 332 . . . . . 6
5653, 55syl6ibr 227 . . . . 5
5723, 56sylbid 215 . . . 4
58 oveq1 6303 . . . . . . . . . . 11
5911nncni 10571 . . . . . . . . . . . 12
6059mul02i 9790 . . . . . . . . . . 11
6158, 60syl6eq 2514 . . . . . . . . . 10
6261eqeq1d 2459 . . . . . . . . 9
6362biimpac 486 . . . . . . . 8
64 subeq0 9868 . . . . . . . . . 10
656, 7, 64syl2anr 478 . . . . . . . . 9
66 eqcom 2466 . . . . . . . . 9
67 eqcom 2466 . . . . . . . . 9
6865, 66, 673bitr3g 287 . . . . . . . 8
6963, 68syl5ib 219 . . . . . . 7
7069ad2ant2r 746 . . . . . 6
71703adant3 1016 . . . . 5
7271expd 436 . . . 4
7357, 72mpdd 40 . . 3
74733expia 1198 . 2
7574an4s 826 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  {crab 2811   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   cfz 11701   cabs 13067   cdvds 13986
This theorem is referenced by:  divalglem9  14059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069
  Copyright terms: Public domain W3C validator