Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem9 Unicode version

Theorem divalglem9 14059
 Description: Lemma for divalg 14061. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem8.1
divalglem8.2
divalglem8.3
divalglem8.4
divalglem9.5
Assertion
Ref Expression
divalglem9
Distinct variable groups:   ,,   N,,   ,S   ,

Proof of Theorem divalglem9
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divalglem9.5 . . . 4
2 divalglem8.1 . . . . 5
3 divalglem8.2 . . . . 5
4 divalglem8.3 . . . . 5
5 divalglem8.4 . . . . 5
62, 3, 4, 5divalglem2 14053 . . . 4
71, 6eqeltri 2541 . . 3
82, 3, 4, 5, 1divalglem5 14055 . . . 4
98simpri 462 . . 3
10 breq1 4455 . . . 4
1110rspcev 3210 . . 3
127, 9, 11mp2an 672 . 2
13 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . 15
1413breq2d 4464 . . . . . . . . . . . . . 14
1514, 5elrab2 3259 . . . . . . . . . . . . 13
1615simplbi 460 . . . . . . . . . . . 12
1716nn0zd 10992 . . . . . . . . . . 11
18 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . 15
1918breq2d 4464 . . . . . . . . . . . . . 14
2019, 5elrab2 3259 . . . . . . . . . . . . 13
2120simplbi 460 . . . . . . . . . . . 12
2221nn0zd 10992 . . . . . . . . . . 11
23 zsubcl 10931 . . . . . . . . . . . . 13
242, 23mpan 670 . . . . . . . . . . . 12
25 zsubcl 10931 . . . . . . . . . . . . 13
262, 25mpan 670 . . . . . . . . . . . 12
2724, 26anim12i 566 . . . . . . . . . . 11
2817, 22, 27syl2an 477 . . . . . . . . . 10
2915simprbi 464 . . . . . . . . . . 11
3020simprbi 464 . . . . . . . . . . 11
3129, 30anim12i 566 . . . . . . . . . 10
32 dvds2sub 14016 . . . . . . . . . . 11
333, 32mp3an1 1311 . . . . . . . . . 10
3428, 31, 33sylc 60 . . . . . . . . 9
35 zcn 10894 . . . . . . . . . . . 12
36 zcn 10894 . . . . . . . . . . . 12
372zrei 10895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3837recni 9629 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3938subidi 9913 . . . . . . . . . . . . . . 15
4039oveq1i 6306 . . . . . . . . . . . . . 14
41 0cn 9609 . . . . . . . . . . . . . . 15
42 subsub2 9870 . . . . . . . . . . . . . . 15
4341, 42mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . . . 14
4440, 43syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . . 13
45 sub4 9887 . . . . . . . . . . . . . 14
4638, 38, 45mpanl12 682 . . . . . . . . . . . . 13
47 subcl 9842 . . . . . . . . . . . . . . 15
4847ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . 14
4948addid2d 9802 . . . . . . . . . . . . 13
5044, 46, 493eqtr3d 2506 . . . . . . . . . . . 12
5135, 36, 50syl2an 477 . . . . . . . . . . 11
5217, 22, 51syl2an 477 . . . . . . . . . 10
5352breq2d 4464 . . . . . . . . 9
5434, 53mpbid 210 . . . . . . . 8
55 zsubcl 10931 . . . . . . . . . . 11
5655ancoms 453 . . . . . . . . . 10
57 absdvdsb 14002 . . . . . . . . . 10
583, 56, 57sylancr 663 . . . . . . . . 9
5917, 22, 58syl2an 477 . . . . . . . 8
6054, 59mpbid 210 . . . . . . 7
61 nnabscl 13158 . . . . . . . . . . 11
623, 4, 61mp2an 672 . . . . . . . . . 10
6362nnzi 10913 . . . . . . . . 9
64 divides 13988 . . . . . . . . 9
6563, 56, 64sylancr 663 . . . . . . . 8
6617, 22, 65syl2an 477 . . . . . . 7
6760, 66mpbid 210 . . . . . 6
6867adantr 465 . . . . 5
692, 3, 4, 5divalglem8 14058 . . . . . 6
7069rexlimdv 2947 . . . . 5
7168, 70mpd 15 . . . 4
7271ex 434 . . 3
7372rgen2a 2884 . 2
74 breq1 4455 . . 3
7574reu4 3293 . 2
7612, 73, 75mpbir2an 920 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  E!wreu 2809  {crab 2811   class class class wbr 4452  'ccnv 5003  cfv 5593  (class class class)co 6296  supcsup 7920   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   cabs 13067   cdvds 13986 This theorem is referenced by:  divalglem10  14060 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987
 Copyright terms: Public domain W3C validator