Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalgmod Unicode version

Theorem divalgmod 14064
 Description: The result of the operator satisfies the requirements for the remainder in the division algorithm for a positive divisor (compare divalg2 14063 and divalgb 14062). This demonstration theorem justifies the use of to yield an explicit remainder from this point forward. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
divalgmod
Distinct variable groups:   ,   N,

Proof of Theorem divalgmod
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zre 10893 . . . . . . . 8
2 nnrp 11258 . . . . . . . 8
3 modlt 12006 . . . . . . . 8
41, 2, 3syl2an 477 . . . . . . 7
5 nnre 10568 . . . . . . . . . . 11
6 nnne0 10593 . . . . . . . . . . 11
7 redivcl 10288 . . . . . . . . . . 11
81, 5, 6, 7syl3an 1270 . . . . . . . . . 10
983anidm23 1287 . . . . . . . . 9
109flcld 11935 . . . . . . . 8
11 nnz 10911 . . . . . . . . 9
1211adantl 466 . . . . . . . 8
13 zmodcl 12015 . . . . . . . . . 10
1413nn0zd 10992 . . . . . . . . 9
15 zsubcl 10931 . . . . . . . . 9
1614, 15syldan 470 . . . . . . . 8
17 nncn 10569 . . . . . . . . . . 11
1817adantl 466 . . . . . . . . . 10
1910zcnd 10995 . . . . . . . . . 10
2018, 19mulcomd 9638 . . . . . . . . 9
21 modval 11998 . . . . . . . . . . 11
221, 2, 21syl2an 477 . . . . . . . . . 10
23 zcn 10894 . . . . . . . . . . . . 13
2423adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
25 zmulcl 10937 . . . . . . . . . . . . . . 15
2611, 10, 25syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14
2726anabss7 821 . . . . . . . . . . . . 13
2827zcnd 10995 . . . . . . . . . . . 12
2913nn0cnd 10879 . . . . . . . . . . . 12
30 subsub23 9848 . . . . . . . . . . . 12
3124, 28, 29, 30syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11
32 eqcom 2466 . . . . . . . . . . 11
33 eqcom 2466 . . . . . . . . . . 11
3431, 32, 333bitr3g 287 . . . . . . . . . 10
3522, 34mpbid 210 . . . . . . . . 9
3620, 35eqtr3d 2500 . . . . . . . 8
37 dvds0lem 13994 . . . . . . . 8
3810, 12, 16, 36, 37syl31anc 1231 . . . . . . 7
39 divalg2 14063 . . . . . . . 8
40 breq1 4455 . . . . . . . . . 10
41 oveq2 6304 . . . . . . . . . . 11
4241breq2d 4464 . . . . . . . . . 10
4340, 42anbi12d 710 . . . . . . . . 9
4443riota2 6280 . . . . . . . 8
4513, 39, 44syl2anc 661 . . . . . . 7
464, 38, 45mpbi2and 921 . . . . . 6
4746eqcomd 2465 . . . . 5
4847sneqd 4041 . . . 4
49 snriota 6287 . . . . 5
5039, 49syl 16 . . . 4
5148, 50eqtr4d 2501 . . 3
5251eleq2d 2527 . 2
53 elsn 4043 . 2
54 breq1 4455 . . . 4
55 oveq2 6304 . . . . 5
5655breq2d 4464 . . . 4
5754, 56anbi12d 710 . . 3
5857elrab 3257 . 2
5952, 53, 583bitr3g 287 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E!wreu 2809  {crab 2811  {csn 4029   class class class wbr 4452  cfv 5593  iota_crio 6256  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0`cc0 9513   cmul 9518   clt 9649   cmin 9828   cdiv 10231   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   crp 11249   cfl 11927   cmo 11996   cdvds 13986 This theorem is referenced by:  divalgmodcl  30929 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987
 Copyright terms: Public domain W3C validator