MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divdivdiv Unicode version

Theorem divdivdiv 10270
Description: Division of two ratios. Theorem I.15 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
divdivdiv

Proof of Theorem divdivdiv
StepHypRef Expression
1 simprrl 765 . . . . . . 7
2 simprll 763 . . . . . . 7
3 simprlr 764 . . . . . . 7
4 divcl 10238 . . . . . . 7
51, 2, 3, 4syl3anc 1228 . . . . . 6
6 simpll 753 . . . . . . 7
7 simplrl 761 . . . . . . 7
8 simplrr 762 . . . . . . 7
9 divcl 10238 . . . . . . 7
106, 7, 8, 9syl3anc 1228 . . . . . 6
115, 10mulcomd 9638 . . . . 5
12 simplr 755 . . . . . 6
13 simprl 756 . . . . . 6
14 divmuldiv 10269 . . . . . 6
156, 1, 12, 13, 14syl22anc 1229 . . . . 5
1611, 15eqtrd 2498 . . . 4
1716oveq2d 6312 . . 3
18 simprr 757 . . . . . . 7
19 divmuldiv 10269 . . . . . . 7
202, 1, 18, 13, 19syl22anc 1229 . . . . . 6
212, 1mulcomd 9638 . . . . . . . 8
2221oveq1d 6311 . . . . . . 7
231, 2mulcld 9637 . . . . . . . 8
24 simprrr 766 . . . . . . . . 9
251, 2, 24, 3mulne0d 10226 . . . . . . . 8
26 divid 10259 . . . . . . . 8
2723, 25, 26syl2anc 661 . . . . . . 7
2822, 27eqtrd 2498 . . . . . 6
2920, 28eqtrd 2498 . . . . 5
3029oveq1d 6311 . . . 4
31 divcl 10238 . . . . . 6
322, 1, 24, 31syl3anc 1228 . . . . 5
3332, 5, 10mulassd 9640 . . . 4
3410mulid2d 9635 . . . 4
3530, 33, 343eqtr3d 2506 . . 3
3617, 35eqtr3d 2500 . 2
376, 1mulcld 9637 . . . 4
387, 2mulcld 9637 . . . 4
39 mulne0 10216 . . . . 5
4039ad2ant2lr 747 . . . 4
41 divcl 10238 . . . 4
4237, 38, 40, 41syl3anc 1228 . . 3
43 divne0 10244 . . . 4
4443adantl 466 . . 3
45 divmul 10235 . . 3
4610, 42, 32, 44, 45syl112anc 1232 . 2
4736, 46mpbird 232 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   cmul 9518   cdiv 10231
This theorem is referenced by:  recdiv  10275  divcan7  10278  divdiv1  10280  divdiv2  10281  divdivdivi  10332  divdivdivd  10392  qreccl  11231  pnt2  23798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232
  Copyright terms: Public domain W3C validator