MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divmuldiv Unicode version

Theorem divmuldiv 10269
Description: Multiplication of two ratios. Theorem I.14 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
divmuldiv

Proof of Theorem divmuldiv
StepHypRef Expression
1 3anass 977 . . 3
2 3anass 977 . . 3
3 divcl 10238 . . . . . 6
4 divcl 10238 . . . . . 6
5 mulcl 9597 . . . . . 6
63, 4, 5syl2an 477 . . . . 5
7 mulcl 9597 . . . . . . . 8
87ad2ant2r 746 . . . . . . 7
983adantr1 1155 . . . . . 6
1093adantl1 1152 . . . . 5
11 mulne0 10216 . . . . . . 7
12113adantr1 1155 . . . . . 6
13123adantl1 1152 . . . . 5
14 divcan3 10256 . . . . 5
156, 10, 13, 14syl3anc 1228 . . . 4
16 simp2 997 . . . . . . . 8
1716, 3jca 532 . . . . . . 7
18 simp2 997 . . . . . . . 8
1918, 4jca 532 . . . . . . 7
20 mul4 9770 . . . . . . 7
2117, 19, 20syl2an 477 . . . . . 6
22 divcan2 10240 . . . . . . 7
23 divcan2 10240 . . . . . . 7
2422, 23oveqan12d 6315 . . . . . 6
2521, 24eqtr3d 2500 . . . . 5
2625oveq1d 6311 . . . 4
2715, 26eqtr3d 2500 . . 3
281, 2, 27syl2anbr 480 . 2
2928an4s 826 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513   cmul 9518   cdiv 10231
This theorem is referenced by:  divdivdiv  10270  divcan5  10271  divmul13  10272  divmul24  10273  divmuldivi  10329  divmuldivd  10386  qmulcl  11229  mulexpz  12206  expaddz  12210  sqdiv  12233  faclbnd2  12369  bcm1k  12393  bcp1n  12394  pythagtriplem16  14354  dvsqrt  23118  dquartlem1  23182  basellem8  23361  dchrvmasumlem1  23680  dchrvmasum2lem  23681  pntlemr  23787  pntlemf  23790  wallispilem4  31850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232
  Copyright terms: Public domain W3C validator