MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divrecd Unicode version

Theorem divrecd 10348
Description: Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1
divcld.2
divcld.3
Assertion
Ref Expression
divrecd

Proof of Theorem divrecd
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2
2 divcld.2 . 2
3 divcld.3 . 2
4 divrec 10248 . 2
51, 2, 3, 4syl3anc 1228 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   cmul 9518   cdiv 10231
This theorem is referenced by:  prodgt0  10412  ltdiv1  10431  ltrec  10451  lediv12a  10463  expsub  12213  expdiv  12216  rlimdiv  13468  isumdivc  13579  fsumdivc  13601  trirecip  13674  geo2sum  13682  geo2lim  13684  prodfdiv  13705  ege2le3  13825  eftlub  13844  eirrlem  13937  prmreclem4  14437  m1expaddsub  16523  abvdiv  17486  cnsubrg  18478  nmdvr  21179  nmoi2  21237  cphdivcl  21629  ipcau2  21677  ovolsca  21926  dvsincos  22382  plyeq0lem  22607  plydivlem4  22692  aalioulem4  22731  geolim3  22735  aaliou3lem8  22741  taylthlem2  22769  advlogexp  23036  cxpsub  23063  divcxp  23068  dvcxp1  23116  lawcoslem1  23147  dvatan  23266  leibpi  23273  log2tlbnd  23276  fsumharmonic  23341  basellem8  23361  chebbnd1  23657  rplogsumlem2  23670  rpvmasumlem  23672  dchrmusumlema  23678  dchrisum0lema  23699  dchrisum0lem1  23701  dchrisum0lem2a  23702  dchrisum0lem2  23703  dchrmusumlem  23707  mulogsumlem  23716  mulogsum  23717  logdivsum  23718  mulog2sumlem1  23719  vmalogdivsum2  23723  2vmadivsumlem  23725  log2sumbnd  23729  logdivbnd  23741  selberg4lem1  23745  selberg34r  23756  pntrlog2bndlem2  23763  pntrlog2bndlem4  23765  pntrlog2bndlem6  23768  pntpbnd2  23772  smcnlem  25607  ipasslem5  25750  lgamgulmlem2  28572  lgamgulmlem3  28573  lgamgulmlem4  28574  dvtan  30065  dvcncxp1  30100  areacirclem1  30107  areacirclem4  30110  irrapxlem5  30762  pell14qrdivcl  30801  hashnzfzclim  31227  binomcxplemnotnn0  31261  climdivf  31618  divlimc  31662  divcncf  31686  dvmptdiv  31714  ioodvbdlimc1lem2  31729  ioodvbdlimc2lem  31731  dvnxpaek  31739  stoweidlem36  31818  wallispi  31852  stirlinglem7  31862  dirkercncflem2  31886  dirkercncflem4  31888  fourierdlem39  31928  fourierdlem40  31929  fourierdlem56  31945  fourierdlem62  31951  fourierdlem78  31967  fourierdlem83  31972  fourierdlem95  31984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232
  Copyright terms: Public domain W3C validator