MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divsrng2 Unicode version

Theorem divsrng2 16536
Description: The quotient structure of a ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
divsrng2.u
divsrng2.v
divsrng2.p
divsrng2.t
divsrng2.o
divsrng2.r
divsrng2.e1
divsrng2.e2
divsrng2.x
Assertion
Ref Expression
divsrng2
Distinct variable groups:   , ,   , ,   , , , ,   , , , ,   , , , ,   , , , ,   , ,   , ,

Proof of Theorem divsrng2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divsrng2.u . . . 4
2 divsrng2.v . . . 4
3 eqid 2422 . . . 4
4 divsrng2.r . . . . 5
5 fvex 5671 . . . . . 6
62, 5syl6eqel 2510 . . . . 5
7 erex 7086 . . . . 5
84, 6, 7sylc 59 . . . 4
9 divsrng2.x . . . 4
101, 2, 3, 8, 9divsval 14420 . . 3
11 divsrng2.p . . 3
12 divsrng2.t . . 3
13 divsrng2.o . . 3
141, 2, 3, 8, 9divslem 14421 . . 3
159adantr 455 . . . . . 6
16 simprl 740 . . . . . . 7
172adantr 455 . . . . . . 7
1816, 17eleqtrd 2498 . . . . . 6
19 simprr 741 . . . . . . 7
2019, 17eleqtrd 2498 . . . . . 6
21 eqid 2422 . . . . . . 7
2221, 11rngacl 16500 . . . . . 6
2315, 18, 20, 22syl3anc 1203 . . . . 5
2423, 17eleqtrrd 2499 . . . 4
25 divsrng2.e1 . . . 4
264, 6, 3, 24, 25ercpbl 14427 . . 3
2721, 12rngcl 16486 . . . . . 6
2815, 18, 20, 27syl3anc 1203 . . . . 5
2928, 17eleqtrrd 2499 . . . 4
30 divsrng2.e2 . . . 4
314, 6, 3, 29, 30ercpbl 14427 . . 3
3210, 2, 11, 12, 13, 14, 26, 31, 9imasrng 16535 . 2
334, 6, 3divsfval 14425 . . . . 5
3433eqcomd 2427 . . . 4
3534eqeq1d 2430 . . 3
3635anbi2d 688 . 2
3732, 36mpbird 226 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 362  =wceq 1687  e.wcel 1749   cvv 2951   class class class wbr 4267  e.cmpt 4325  `cfv 5390  (class class class)co 6061  Erwer 7059  [cec 7060  /.cqs 7061   cbs 14114   cplusg 14178   cmulr 14179   cqus 14383   crg 16469   cur 16471
This theorem is referenced by:  divs1  17126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-int 4104  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-1o 6881  df-oadd 6885  df-er 7062  df-ec 7064  df-qs 7068  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-fin 7273  df-sup 7638  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-nn 10269  df-2 10326  df-3 10327  df-4 10328  df-5 10329  df-6 10330  df-7 10331  df-8 10332  df-9 10333  df-10 10334  df-n0 10526  df-z 10592  df-dec 10701  df-uz 10807  df-fz 11382  df-struct 14116  df-ndx 14117  df-slot 14118  df-base 14119  df-sets 14120  df-plusg 14191  df-mulr 14192  df-sca 14194  df-vsca 14195  df-ip 14196  df-tset 14197  df-ple 14198  df-ds 14200  df-0g 14320  df-imas 14386  df-divs 14387  df-mnd 15355  df-grp 15482  df-minusg 15483  df-mgp 16458  df-rng 16472  df-ur 16474
  Copyright terms: Public domain W3C validator