Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divsrng2 Unicode version

Theorem divsrng2 16888
 Description: The quotient structure of a ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
divsrng2.u
divsrng2.v
divsrng2.p
divsrng2.t
divsrng2.o
divsrng2.r
divsrng2.e1
divsrng2.e2
divsrng2.x
Assertion
Ref Expression
divsrng2
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,   ,,

Proof of Theorem divsrng2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divsrng2.u . . . 4
2 divsrng2.v . . . 4
3 eqid 2454 . . . 4
4 divsrng2.r . . . . 5
5 fvex 5823 . . . . . 6
62, 5syl6eqel 2550 . . . . 5
7 erex 7259 . . . . 5
84, 6, 7sylc 60 . . . 4
9 divsrng2.x . . . 4
101, 2, 3, 8, 9divsval 14639 . . 3
11 divsrng2.p . . 3
12 divsrng2.t . . 3
13 divsrng2.o . . 3
141, 2, 3, 8, 9divslem 14640 . . 3
159adantr 465 . . . . . 6
16 simprl 755 . . . . . . 7
172adantr 465 . . . . . . 7
1816, 17eleqtrd 2544 . . . . . 6
19 simprr 756 . . . . . . 7
2019, 17eleqtrd 2544 . . . . . 6
21 eqid 2454 . . . . . . 7
2221, 11rngacl 16848 . . . . . 6
2315, 18, 20, 22syl3anc 1219 . . . . 5
2423, 17eleqtrrd 2545 . . . 4
25 divsrng2.e1 . . . 4
264, 6, 3, 24, 25ercpbl 14646 . . 3
2721, 12rngcl 16834 . . . . . 6
2815, 18, 20, 27syl3anc 1219 . . . . 5
2928, 17eleqtrrd 2545 . . . 4
30 divsrng2.e2 . . . 4
314, 6, 3, 29, 30ercpbl 14646 . . 3
3210, 2, 11, 12, 13, 14, 26, 31, 9imasrng 16887 . 2
334, 6, 3divsfval 14644 . . . . 5
3433eqcomd 2462 . . . 4
3534eqeq1d 2456 . . 3
3635anbi2d 703 . 2
3732, 36mpbird 232 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1758   cvv 3081   class class class wbr 4409  e.cmpt 4467  cfv 5537  (class class class)co 6222  Erwer 7232  [cec 7233  /.`cqs 7234   cbs 14332   cplusg 14397   cmulr 14398   cqus 14602   cur 16778   crg 16821 This theorem is referenced by:  divs1  17493 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-int 4246  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-1o 7054  df-oadd 7058  df-er 7235  df-ec 7237  df-qs 7241  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-fin 7448  df-sup 7827  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-nn 10461  df-2 10518  df-3 10519  df-4 10520  df-5 10521  df-6 10522  df-7 10523  df-8 10524  df-9 10525  df-10 10526  df-n0 10718  df-z 10785  df-dec 10895  df-uz 11001  df-fz 11583  df-struct 14334  df-ndx 14335  df-slot 14336  df-base 14337  df-sets 14338  df-plusg 14410  df-mulr 14411  df-sca 14413  df-vsca 14414  df-ip 14415  df-tset 14416  df-ple 14417  df-ds 14419  df-0g 14539  df-imas 14605  df-divs 14606  df-mnd 15574  df-grp 15704  df-minusg 15705  df-mgp 16767  df-ur 16779  df-rng 16823
 Copyright terms: Public domain W3C validator