MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmdprdpr Unicode version

Theorem dmdprdpr 15658
Description: A singleton family is an internal direct product, the product of which is the given subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dmdprdpr.z
dmdprdpr.0
dmdprdpr.s
dmdprdpr.t
Assertion
Ref Expression
dmdprdpr

Proof of Theorem dmdprdpr
StepHypRef Expression
1 0ex 4373 . . . . . 6
2 dmdprdpr.s . . . . . 6
3 dprdsn 15645 . . . . . 6
41, 2, 3sylancr 646 . . . . 5
54simpld 447 . . . 4
6 dmdprdpr.t . . . . . . . 8
7 xpscf 13842 . . . . . . . 8
82, 6, 7sylanbrc 647 . . . . . . 7
9 ffn 5638 . . . . . . 7
108, 9syl 16 . . . . . 6
111prid1 3940 . . . . . . 7
12 df2o3 6786 . . . . . . 7
1311, 12eleqtrri 2516 . . . . . 6
14 fnressn 5966 . . . . . 6
1510, 13, 14sylancl 645 . . . . 5
16 xpsc0 13836 . . . . . . . 8
172, 16syl 16 . . . . . . 7
1817opeq2d 4019 . . . . . 6
1918sneqd 3854 . . . . 5
2015, 19eqtrd 2475 . . . 4
215, 20breqtrrd 4269 . . 3
22 1on 6780 . . . . . 6
23 dprdsn 15645 . . . . . 6
2422, 6, 23sylancr 646 . . . . 5
2524simpld 447 . . . 4
2622elexi 2974 . . . . . . . 8
2726prid2 3941 . . . . . . 7
2827, 12eleqtrri 2516 . . . . . 6
29 fnressn 5966 . . . . . 6
3010, 28, 29sylancl 645 . . . . 5
31 xpsc1 13837 . . . . . . . 8
326, 31syl 16 . . . . . . 7
3332opeq2d 4019 . . . . . 6
3433sneqd 3854 . . . . 5
3530, 34eqtrd 2475 . . . 4
3625, 35breqtrrd 4269 . . 3
37 1n0 6788 . . . . . . . . 9
3837necomi 2693 . . . . . . . 8
39 disjsn2 3897 . . . . . . . 8
4038, 39mp1i 12 . . . . . . 7
41 df-pr 3848 . . . . . . . . 9
4212, 41eqtri 2463 . . . . . . . 8
4342a1i 11 . . . . . . 7
44 dmdprdpr.z . . . . . . 7
45 dmdprdpr.0 . . . . . . 7
468, 40, 43, 44, 45dmdprdsplit 15656 . . . . . 6
47 3anass 941 . . . . . 6
4846, 47syl6bb 254 . . . . 5
4948baibd 877 . . . 4
5049ex 425 . . 3
5121, 36, 50mp2and 662 . 2
5220oveq2d 6145 . . . . 5
534simprd 451 . . . . 5
5452, 53eqtrd 2475 . . . 4
5535oveq2d 6145 . . . . . 6
5624simprd 451 . . . . . 6
5755, 56eqtrd 2475 . . . . 5
5857fveq2d 5779 . . . 4
5954, 58sseq12d 3366 . . 3
6054, 57ineq12d 3532 . . . 4
6160eqeq1d 2451 . . 3
6259, 61anbi12d 693 . 2
6351, 62bitrd 246 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 360  /\w3a 937  =wceq 1654  e.wcel 1728  =/=wne 2606   cvv 2965  u.cun 3307  i^icin 3308  C_wss 3309   c0 3616  {csn 3841  {cpr 3842  <.cop 3844   class class class wbr 4243   con0 4622  `'ccnv 4918  domcdm 4919  |`cres 4921  Fnwfn 5496  -->wf 5497  `cfv 5501  (class class class)co 6129   c1o 6766   c2o 6767   ccda 8098   c0g 13774   csubg 14989   ccntz 15165   cdprd 15605
This theorem is referenced by:  dprdpr  15659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4354  ax-sep 4364  ax-nul 4372  ax-pow 4416  ax-pr 4442  ax-un 4742  ax-inf2 7645  ax-cnex 9097  ax-resscn 9098  ax-1cn 9099  ax-icn 9100  ax-addcl 9101  ax-addrcl 9102  ax-mulcl 9103  ax-mulrcl 9104  ax-mulcom 9105  ax-addass 9106  ax-mulass 9107  ax-distr 9108  ax-i2m1 9109  ax-1ne0 9110  ax-1rid 9111  ax-rnegex 9112  ax-rrecex 9113  ax-cnre 9114  ax-pre-lttri 9115  ax-pre-lttrn 9116  ax-pre-ltadd 9117  ax-pre-mulgt0 9118
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3766  df-pw 3828  df-sn 3847  df-pr 3848  df-tp 3849  df-op 3850  df-uni 4044  df-int 4080  df-iun 4124  df-iin 4125  df-br 4244  df-opab 4302  df-mpt 4303  df-tr 4337  df-eprel 4535  df-id 4539  df-po 4544  df-so 4545  df-fr 4582  df-se 4583  df-we 4584  df-ord 4625  df-on 4626  df-lim 4627  df-suc 4628  df-om 4887  df-xp 4925  df-rel 4926  df-cnv 4927  df-co 4928  df-dm 4929  df-rn 4930  df-res 4931  df-ima 4932  df-iota 5464  df-fun 5503  df-fn 5504  df-f 5505  df-f1 5506  df-fo 5507  df-f1o 5508  df-fv 5509  df-isom 5510  df-ov 6132  df-oprab 6133  df-mpt2 6134  df-of 6355  df-1st 6399  df-2nd 6400  df-tpos 6529  df-riota 6599  df-recs 6682  df-rdg 6717  df-1o 6773  df-2o 6774  df-oadd 6777  df-er 6954  df-map 7069  df-ixp 7113  df-en 7159  df-dom 7160  df-sdom 7161  df-fin 7162  df-oi 7528  df-card 7877  df-cda 8099  df-pnf 9173  df-mnf 9174  df-xr 9175  df-ltxr 9176  df-le 9177  df-sub 9344  df-neg 9345  df-nn 10052  df-2 10109  df-n0 10273  df-z 10334  df-uz 10540  df-fz 11095  df-fzo 11187  df-seq 11375  df-hash 11670  df-ndx 13523  df-slot 13524  df-base 13525  df-sets 13526  df-ress 13527  df-plusg 13593  df-0g 13778  df-gsum 13779  df-mre 13862  df-mrc 13863  df-acs 13865  df-mnd 14741  df-mhm 14789  df-submnd 14790  df-grp 14863  df-minusg 14864  df-sbg 14865  df-mulg 14866  df-subg 14992  df-ghm 15055  df-gim 15097  df-cntz 15167  df-oppg 15193  df-lsm 15321  df-cmn 15465  df-dprd 15607
  Copyright terms: Public domain W3C validator