MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmdprdpr Unicode version

Theorem dmdprdpr 15599
Description: A singleton family is an internal direct product, the product of which is the given subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dmdprdpr.z
dmdprdpr.0
dmdprdpr.s
dmdprdpr.t
Assertion
Ref Expression
dmdprdpr

Proof of Theorem dmdprdpr
StepHypRef Expression
1 0ex 4331 . . . . . 6
2 dmdprdpr.s . . . . . 6
3 dprdsn 15586 . . . . . 6
41, 2, 3sylancr 645 . . . . 5
54simpld 446 . . . 4
6 dmdprdpr.t . . . . . . . 8
7 xpscf 13783 . . . . . . . 8
82, 6, 7sylanbrc 646 . . . . . . 7
9 ffn 5583 . . . . . . 7
108, 9syl 16 . . . . . 6
111prid1 3904 . . . . . . 7
12 df2o3 6729 . . . . . . 7
1311, 12eleqtrri 2508 . . . . . 6
14 fnressn 5910 . . . . . 6
1510, 13, 14sylancl 644 . . . . 5
16 xpsc0 13777 . . . . . . . 8
172, 16syl 16 . . . . . . 7
1817opeq2d 3983 . . . . . 6
1918sneqd 3819 . . . . 5
2015, 19eqtrd 2467 . . . 4
215, 20breqtrrd 4230 . . 3
22 1on 6723 . . . . . 6
23 dprdsn 15586 . . . . . 6
2422, 6, 23sylancr 645 . . . . 5
2524simpld 446 . . . 4
2622elexi 2957 . . . . . . . 8
2726prid2 3905 . . . . . . 7
2827, 12eleqtrri 2508 . . . . . 6
29 fnressn 5910 . . . . . 6
3010, 28, 29sylancl 644 . . . . 5
31 xpsc1 13778 . . . . . . . 8
326, 31syl 16 . . . . . . 7
3332opeq2d 3983 . . . . . 6
3433sneqd 3819 . . . . 5
3530, 34eqtrd 2467 . . . 4
3625, 35breqtrrd 4230 . . 3
37 1n0 6731 . . . . . . . . 9
3837necomi 2680 . . . . . . . 8
39 disjsn2 3861 . . . . . . . 8
4038, 39mp1i 12 . . . . . . 7
41 df-pr 3813 . . . . . . . . 9
4212, 41eqtri 2455 . . . . . . . 8
4342a1i 11 . . . . . . 7
44 dmdprdpr.z . . . . . . 7
45 dmdprdpr.0 . . . . . . 7
468, 40, 43, 44, 45dmdprdsplit 15597 . . . . . 6
47 3anass 940 . . . . . 6
4846, 47syl6bb 253 . . . . 5
4948baibd 876 . . . 4
5049ex 424 . . 3
5121, 36, 50mp2and 661 . 2
5220oveq2d 6089 . . . . 5
534simprd 450 . . . . 5
5452, 53eqtrd 2467 . . . 4
5535oveq2d 6089 . . . . . 6
5624simprd 450 . . . . . 6
5755, 56eqtrd 2467 . . . . 5
5857fveq2d 5724 . . . 4
5954, 58sseq12d 3369 . . 3
6054, 57ineq12d 3535 . . . 4
6160eqeq1d 2443 . . 3
6259, 61anbi12d 692 . 2
6351, 62bitrd 245 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 177  /\wa 359  /\w3a 936  =wceq 1652  e.wcel 1725  =/=wne 2598   cvv 2948  u.cun 3310  i^icin 3311  C_wss 3312   c0 3620  {csn 3806  {cpr 3807  <.cop 3809   class class class wbr 4204   con0 4573  `'ccnv 4869  domcdm 4870  |`cres 4872  Fnwfn 5441  -->wf 5442  `cfv 5446  (class class class)co 6073   c1o 6709   c2o 6710   ccda 8039   c0g 13715   csubg 14930   ccntz 15106   cdprd 15546
This theorem is referenced by:  dprdpr  15600
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-hash 11611  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-mulg 14807  df-subg 14933  df-ghm 14996  df-gim 15038  df-cntz 15108  df-oppg 15134  df-lsm 15262  df-cmn 15406  df-dprd 15548
  Copyright terms: Public domain W3C validator