MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmfco Unicode version

Theorem dmfco 5947
Description: Domains of a function composition. (Contributed by NM, 27-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
dmfco

Proof of Theorem dmfco
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldm2g 5204 . . . 4
2 vex 3112 . . . . . 6
3 opelco2g 5175 . . . . . 6
42, 3mpan2 671 . . . . 5
54exbidv 1714 . . . 4
61, 5bitrd 253 . . 3
76adantl 466 . 2
8 fvex 5881 . . . 4
98eldm2 5206 . . 3
10 opeq1 4217 . . . . . . 7
1110eleq1d 2526 . . . . . 6
128, 11ceqsexv 3146 . . . . 5
13 eqcom 2466 . . . . . . . 8
14 funopfvb 5916 . . . . . . . 8
1513, 14syl5bb 257 . . . . . . 7
1615anbi1d 704 . . . . . 6
1716exbidv 1714 . . . . 5
1812, 17syl5bbr 259 . . . 4
1918exbidv 1714 . . 3
209, 19syl5bb 257 . 2
217, 20bitr4d 256 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818   cvv 3109  <.cop 4035  domcdm 5004  o.ccom 5008  Funwfun 5587  `cfv 5593
This theorem is referenced by:  funressnfv  32213  dmfcoafv  32260  afvco2  32261
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-fv 5601
  Copyright terms: Public domain W3C validator