Theorem dom2lem 7575

Description: A mapping (first hypothesis) that is one-to-one (second hypothesis) implies its domain is dominated by its codomain. (Contributed by NM, 24-Jul-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
dom2d.1
dom2d.2

Assertion

Ref	Expression
dom2lem

Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,   ,   ,,

Proof of Theorem dom2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dom2d.1	. . . 4
2	1	ralrimiv 2869	. . 3
3		eqid 2457	. . . 4
4	3	fmpt 6052	. . 3
5	2, 4	sylib 196	. 2
6	1	imp 429	. . . . . . 7
7	3	fvmpt2 5963	. . . . . . . 8
8	7	adantll 713	. . . . . . 7
9	6, 8	mpdan 668	. . . . . 6
10	9	adantrr 716	. . . . 5
11		nfv 1707	. . . . . . . 8
12		nffvmpt1 5879	. . . . . . . . 9
13	12	nfeq1 2634	. . . . . . . 8
14	11, 13	nfim 1920	. . . . . . 7
15		eleq1 2529	. . . . . . . . . 10
16	15	anbi2d 703	. . . . . . . . 9
17	16	imbi1d 317	. . . . . . . 8
18	15	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . 12
19		anidm 644	. . . . . . . . . . . 12
20	18, 19	syl6bb 261	. . . . . . . . . . 11
21	20	anbi2d 703	. . . . . . . . . 10
22		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . 13
23	22	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12
24		dom2d.2	. . . . . . . . . . . . . 14
25	24	imp 429	. . . . . . . . . . . . 13
26	25	biimparc 487	. . . . . . . . . . . 12
27	23, 26	eqeq12d 2479	. . . . . . . . . . 11
28	27	ex 434	. . . . . . . . . 10
29	21, 28	sylbird 235	. . . . . . . . 9
30	29	pm5.74d 247	. . . . . . . 8
31	17, 30	bitrd 253	. . . . . . 7
32	14, 31, 9	chvar 2013	. . . . . 6
33	32	adantrl 715	. . . . 5
34	10, 33	eqeq12d 2479	. . . 4
35	25	biimpd 207	. . . 4
36	34, 35	sylbid 215	. . 3
37	36	ralrimivva 2878	. 2
38		nfmpt1 4541	. . 3
39		nfcv 2619	. . 3
40	38, 39	dff13f 6167	. 2
41	5, 37, 40	sylanbrc 664	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  e.cmpt 4510  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  `cfv 5593

This theorem is referenced by:  dom2d  7576  dom3d  7577  ixpfi2  7838  infxpenc2lem1  8417  dfac12lem2  8545  4sqlem11  14473  odf1o1  16592  odf1o2  16593  dis2ndc  19961  hauspwpwf1  20488  itg1addlem4  22106  basellem3  23356  fsumvma  23488  dchrisum0fno1  23696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fv 5601