Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dom2lem Unicode version

Theorem dom2lem 7575
 Description: A mapping (first hypothesis) that is one-to-one (second hypothesis) implies its domain is dominated by its codomain. (Contributed by NM, 24-Jul-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
dom2d.1
dom2d.2
Assertion
Ref Expression
dom2lem
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,   ,   ,,

Proof of Theorem dom2lem
StepHypRef Expression
1 dom2d.1 . . . 4
21ralrimiv 2869 . . 3
3 eqid 2457 . . . 4
43fmpt 6052 . . 3
52, 4sylib 196 . 2
61imp 429 . . . . . . 7
73fvmpt2 5963 . . . . . . . 8
87adantll 713 . . . . . . 7
96, 8mpdan 668 . . . . . 6
109adantrr 716 . . . . 5
11 nfv 1707 . . . . . . . 8
12 nffvmpt1 5879 . . . . . . . . 9
1312nfeq1 2634 . . . . . . . 8
1411, 13nfim 1920 . . . . . . 7
15 eleq1 2529 . . . . . . . . . 10
1615anbi2d 703 . . . . . . . . 9
1716imbi1d 317 . . . . . . . 8
1815anbi1d 704 . . . . . . . . . . . 12
19 anidm 644 . . . . . . . . . . . 12
2018, 19syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11
2120anbi2d 703 . . . . . . . . . 10
22 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . 13
2322adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
24 dom2d.2 . . . . . . . . . . . . . 14
2524imp 429 . . . . . . . . . . . . 13
2625biimparc 487 . . . . . . . . . . . 12
2723, 26eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . 11
2827ex 434 . . . . . . . . . 10
2921, 28sylbird 235 . . . . . . . . 9
3029pm5.74d 247 . . . . . . . 8
3117, 30bitrd 253 . . . . . . 7
3214, 31, 9chvar 2013 . . . . . 6
3332adantrl 715 . . . . 5
3410, 33eqeq12d 2479 . . . 4
3525biimpd 207 . . . 4
3634, 35sylbid 215 . . 3
3736ralrimivva 2878 . 2
38 nfmpt1 4541 . . 3
39 nfcv 2619 . . 3
4038, 39dff13f 6167 . 2
415, 37, 40sylanbrc 664 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  e.cmpt 4510  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  `cfv 5593 This theorem is referenced by:  dom2d  7576  dom3d  7577  ixpfi2  7838  infxpenc2lem1  8417  dfac12lem2  8545  4sqlem11  14473  odf1o1  16592  odf1o2  16593  dis2ndc  19961  hauspwpwf1  20488  itg1addlem4  22106  basellem3  23356  fsumvma  23488  dchrisum0fno1  23696 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fv 5601
 Copyright terms: Public domain W3C validator