MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domdifsn Unicode version

Theorem domdifsn 7620
Description: Dominance over a set with one element removed. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
domdifsn

Proof of Theorem domdifsn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sdomdom 7563 . . . . 5
2 relsdom 7543 . . . . . . 7
32brrelex2i 5046 . . . . . 6
4 brdomg 7546 . . . . . 6
53, 4syl 16 . . . . 5
61, 5mpbid 210 . . . 4
76adantr 465 . . 3
8 f1f 5786 . . . . . . . 8
9 frn 5742 . . . . . . . 8
108, 9syl 16 . . . . . . 7
1110adantl 466 . . . . . 6
12 sdomnen 7564 . . . . . . . 8
1312ad2antrr 725 . . . . . . 7
14 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
15 dff1o5 5830 . . . . . . . . . . . 12
1615biimpri 206 . . . . . . . . . . 11
17 f1oen3g 7551 . . . . . . . . . . 11
1814, 16, 17sylancr 663 . . . . . . . . . 10
1918ex 434 . . . . . . . . 9
2019necon3bd 2669 . . . . . . . 8
2120adantl 466 . . . . . . 7
2213, 21mpd 15 . . . . . 6
23 pssdifn0 3888 . . . . . 6
2411, 22, 23syl2anc 661 . . . . 5
25 n0 3794 . . . . 5
2624, 25sylib 196 . . . 4
272brrelexi 5045 . . . . . . . . 9
2827ad2antrr 725 . . . . . . . 8
293ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
30 difexg 4600 . . . . . . . . 9
3129, 30syl 16 . . . . . . . 8
32 eldifn 3626 . . . . . . . . . . . . 13
33 disjsn 4090 . . . . . . . . . . . . 13
3432, 33sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12
3534adantl 466 . . . . . . . . . . 11
3610adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
37 reldisj 3870 . . . . . . . . . . . 12
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . 11
3935, 38mpbid 210 . . . . . . . . . 10
40 f1ssr 5792 . . . . . . . . . 10
4139, 40syldan 470 . . . . . . . . 9
4241adantl 466 . . . . . . . 8
43 f1dom2g 7553 . . . . . . . 8
4428, 31, 42, 43syl3anc 1228 . . . . . . 7
45 eldifi 3625 . . . . . . . . 9
4645ad2antll 728 . . . . . . . 8
47 simplr 755 . . . . . . . 8
48 difsnen 7619 . . . . . . . 8
4929, 46, 47, 48syl3anc 1228 . . . . . . 7
50 domentr 7594 . . . . . . 7
5144, 49, 50syl2anc 661 . . . . . 6
5251expr 615 . . . . 5
5352exlimdv 1724 . . . 4
5426, 53mpd 15 . . 3
557, 54exlimddv 1726 . 2
561adantr 465 . . 3
57 difsn 4164 . . . . 5
5857breq2d 4464 . . . 4
5958adantl 466 . . 3
6056, 59mpbird 232 . 2
6155, 60pm2.61dan 791 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652   cvv 3109  \cdif 3472  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029   class class class wbr 4452  rancrn 5005  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592   cen 7533   cdom 7534   csdm 7535
This theorem is referenced by:  domunsn  7687  marypha1lem  7913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539
  Copyright terms: Public domain W3C validator