MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domfi Unicode version

Theorem domfi 7761
Description: A set dominated by a finite set is finite. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
domfi

Proof of Theorem domfi
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domeng 7550 . . 3
2 ssfi 7760 . . . . . . 7
32adantrl 715 . . . . . 6
4 enfii 7757 . . . . . . 7
54adantrr 716 . . . . . 6
63, 5sylancom 667 . . . . 5
76ex 434 . . . 4
87exlimdv 1724 . . 3
91, 8sylbid 215 . 2
109imp 429 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  E.wex 1612  e.wcel 1818  C_wss 3475   class class class wbr 4452   cen 7533   cdom 7534   cfn 7536
This theorem is referenced by:  xpfir  7762  dmfi  7823  fofi  7826  pwfilem  7834  pwfi  7835  sdom2en01  8703  isfin1-2  8786  fin67  8796  fin1a2lem9  8809  gchcda1  9055  hashdomi  12448  symggen  16495  cmpsub  19900  ufinffr  20430  alexsubALT  20551  ovolicc2lem4  21931  aannenlem1  22724  ffsrn  27552  locfinreflem  27843  harinf  30976  kelac2lem  31010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-om 6701  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-fin 7540
  Copyright terms: Public domain W3C validator