MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domss2 Unicode version

Theorem domss2 7696
Description: A corollary of disjenex 7695. If is an injection from to then is a right inverse of from to a superset of . (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
domss2.1
Assertion
Ref Expression
domss2

Proof of Theorem domss2
StepHypRef Expression
1 f1f1orn 5832 . . . . . . . 8
213ad2ant1 1017 . . . . . . 7
3 simp2 997 . . . . . . . . . 10
4 rnexg 6732 . . . . . . . . . 10
53, 4syl 16 . . . . . . . . 9
6 uniexg 6597 . . . . . . . . 9
7 pwexg 4636 . . . . . . . . 9
85, 6, 73syl 20 . . . . . . . 8
9 1stconst 6888 . . . . . . . 8
108, 9syl 16 . . . . . . 7
11 difexg 4600 . . . . . . . . . 10
12113ad2ant3 1019 . . . . . . . . 9
13 disjen 7694 . . . . . . . . 9
143, 12, 13syl2anc 661 . . . . . . . 8
1514simpld 459 . . . . . . 7
16 disjdif 3900 . . . . . . . 8
1716a1i 11 . . . . . . 7
18 f1oun 5840 . . . . . . 7
192, 10, 15, 17, 18syl22anc 1229 . . . . . 6
20 undif2 3904 . . . . . . . 8
21 f1f 5786 . . . . . . . . . . 11
22213ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10
23 frn 5742 . . . . . . . . . 10
2422, 23syl 16 . . . . . . . . 9
25 ssequn1 3673 . . . . . . . . 9
2624, 25sylib 196 . . . . . . . 8
2720, 26syl5eq 2510 . . . . . . 7
28 f1oeq3 5814 . . . . . . 7
2927, 28syl 16 . . . . . 6
3019, 29mpbid 210 . . . . 5
31 f1ocnv 5833 . . . . 5
3230, 31syl 16 . . . 4
33 domss2.1 . . . . 5
34 f1oeq1 5812 . . . . 5
3533, 34ax-mp 5 . . . 4
3632, 35sylibr 212 . . 3
37 f1ofo 5828 . . . . 5
38 forn 5803 . . . . 5
3936, 37, 383syl 20 . . . 4
40 f1oeq3 5814 . . . 4
4139, 40syl 16 . . 3
4236, 41mpbird 232 . 2
43 ssun1 3666 . . 3
4443, 39syl5sseqr 3552 . 2
45 ssid 3522 . . . 4
46 cores 5515 . . . 4
4745, 46ax-mp 5 . . 3
48 dmres 5299 . . . . . . . . 9
49 f1ocnv 5833 . . . . . . . . . . . 12
50 f1odm 5825 . . . . . . . . . . . 12
5110, 49, 503syl 20 . . . . . . . . . . 11
5251ineq2d 3699 . . . . . . . . . 10
5352, 16syl6eq 2514 . . . . . . . . 9
5448, 53syl5eq 2510 . . . . . . . 8
55 relres 5306 . . . . . . . . 9
56 reldm0 5225 . . . . . . . . 9
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . 8
5854, 57sylibr 212 . . . . . . 7
5958uneq2d 3657 . . . . . 6
60 cnvun 5416 . . . . . . . . 9
6133, 60eqtri 2486 . . . . . . . 8
6261reseq1i 5274 . . . . . . 7
63 resundir 5293 . . . . . . 7
64 df-rn 5015 . . . . . . . . . 10
6564reseq2i 5275 . . . . . . . . 9
66 relcnv 5379 . . . . . . . . . 10
67 resdm 5320 . . . . . . . . . 10
6866, 67ax-mp 5 . . . . . . . . 9
6965, 68eqtri 2486 . . . . . . . 8
7069uneq1i 3653 . . . . . . 7
7162, 63, 703eqtrri 2491 . . . . . 6
72 un0 3810 . . . . . 6
7359, 71, 723eqtr3g 2521 . . . . 5
7473coeq1d 5169 . . . 4
75 f1cocnv1 5850 . . . . 5
76753ad2ant1 1017 . . . 4
7774, 76eqtrd 2498 . . 3
7847, 77syl5eqr 2512 . 2
7942, 44, 783jca 1176 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  ~Pcpw 4012  {csn 4029  U.cuni 4249   class class class wbr 4452   cid 4795  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  o.ccom 5008  Relwrel 5009  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592   c1st 6798   cen 7533
This theorem is referenced by:  domssex2  7697  domssex  7698
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-en 7537
  Copyright terms: Public domain W3C validator