Theorem domssex 7698

Description: Weakening of domssex 7698 to forget the functions in favor of dominance and equinumerosity. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domssex

Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem domssex

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 7547	. 2
2		reldom 7542	. . 3
3	2	brrelex2i 5046	. 2
4		vex 3112	. . . . . . . 8
5		f1stres 6822	. . . . . . . . . 10
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9
7		difexg 4600	. . . . . . . . . . 11
8	7	adantl 466	. . . . . . . . . 10
9		snex 4693	. . . . . . . . . 10
10		xpexg 6602	. . . . . . . . . 10
11	8, 9, 10	sylancl 662	. . . . . . . . 9
12		fex2 6755	. . . . . . . . 9
13	6, 11, 8, 12	syl3anc 1228	. . . . . . . 8
14		unexg 6601	. . . . . . . 8
15	4, 13, 14	sylancr 663	. . . . . . 7
16		cnvexg 6746	. . . . . . 7
17	15, 16	syl 16	. . . . . 6
18		rnexg 6732	. . . . . 6
19	17, 18	syl 16	. . . . 5
20		simpl 457	. . . . . . . 8
21		f1dm 5790	. . . . . . . . . 10
22	4	dmex 6733	. . . . . . . . . 10
23	21, 22	syl6eqelr 2554	. . . . . . . . 9
24	23	adantr 465	. . . . . . . 8
25		simpr 461	. . . . . . . 8
26		eqid 2457	. . . . . . . . 9
27	26	domss2 7696	. . . . . . . 8
28	20, 24, 25, 27	syl3anc 1228	. . . . . . 7
29	28	simp2d 1009	. . . . . 6
30	28	simp1d 1008	. . . . . . 7
31		f1oen3g 7551	. . . . . . 7
32	17, 30, 31	syl2anc 661	. . . . . 6
33	29, 32	jca 532	. . . . 5
34		sseq2 3525	. . . . . . 7
35		breq2 4456	. . . . . . 7
36	34, 35	anbi12d 710	. . . . . 6
37	36	spcegv 3195	. . . . 5
38	19, 33, 37	sylc 60	. . . 4
39	38	ex 434	. . 3
40	39	exlimiv 1722	. 2
41	1, 3, 40	sylc 60	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  C_wss 3475  ~Pcpw 4012  {csn 4029  U.cuni 4249   class class class wbr 4452  cid 4795  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  o.ccom 5008  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592  c1st 6798  cen 7533  cdom 7534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-en 7537  df-dom 7538