Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domssex Unicode version

Theorem domssex 7698
 Description: Weakening of domssex 7698 to forget the functions in favor of dominance and equinumerosity. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
domssex
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem domssex
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 7547 . 2
2 reldom 7542 . . 3
32brrelex2i 5046 . 2
4 vex 3112 . . . . . . . 8
5 f1stres 6822 . . . . . . . . . 10
65a1i 11 . . . . . . . . 9
7 difexg 4600 . . . . . . . . . . 11
87adantl 466 . . . . . . . . . 10
9 snex 4693 . . . . . . . . . 10
10 xpexg 6602 . . . . . . . . . 10
118, 9, 10sylancl 662 . . . . . . . . 9
12 fex2 6755 . . . . . . . . 9
136, 11, 8, 12syl3anc 1228 . . . . . . . 8
14 unexg 6601 . . . . . . . 8
154, 13, 14sylancr 663 . . . . . . 7
16 cnvexg 6746 . . . . . . 7
1715, 16syl 16 . . . . . 6
18 rnexg 6732 . . . . . 6
1917, 18syl 16 . . . . 5
20 simpl 457 . . . . . . . 8
21 f1dm 5790 . . . . . . . . . 10
224dmex 6733 . . . . . . . . . 10
2321, 22syl6eqelr 2554 . . . . . . . . 9
2423adantr 465 . . . . . . . 8
25 simpr 461 . . . . . . . 8
26 eqid 2457 . . . . . . . . 9
2726domss2 7696 . . . . . . . 8
2820, 24, 25, 27syl3anc 1228 . . . . . . 7
2928simp2d 1009 . . . . . 6
3028simp1d 1008 . . . . . . 7
31 f1oen3g 7551 . . . . . . 7
3217, 30, 31syl2anc 661 . . . . . 6
3329, 32jca 532 . . . . 5
34 sseq2 3525 . . . . . . 7
35 breq2 4456 . . . . . . 7
3634, 35anbi12d 710 . . . . . 6
3736spcegv 3195 . . . . 5
3819, 33, 37sylc 60 . . . 4
3938ex 434 . . 3
4039exlimiv 1722 . 2
411, 3, 40sylc 60 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818   cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  C_wss 3475  ~Pcpw 4012  {csn 4029  U.cuni 4249   class class class wbr 4452   cid 4795  X.cxp 5002  'ccnv 5003  domcdm 5004  rancrn 5005  |cres 5006  o.ccom 5008  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592   c1st 6798   cen 7533   cdom 7534 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-en 7537  df-dom 7538
 Copyright terms: Public domain W3C validator