Theorem domssex2 7697

Description: A corollary of disjenex 7695. If is an injection from to then there is a right inverse of from to a superset of . (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domssex2

Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem domssex2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1f 5786	. . . . 5
2		fex2 6755	. . . . 5
3	1, 2	syl3an1 1261	. . . 4
4		f1stres 6822	. . . . . 6
5	4	a1i 11	. . . . 5
6		difexg 4600	. . . . . . 7
7	6	3ad2ant3 1019	. . . . . 6
8		snex 4693	. . . . . 6
9		xpexg 6602	. . . . . 6
10	7, 8, 9	sylancl 662	. . . . 5
11		fex2 6755	. . . . 5
12	5, 10, 7, 11	syl3anc 1228	. . . 4
13		unexg 6601	. . . 4
14	3, 12, 13	syl2anc 661	. . 3
15		cnvexg 6746	. . 3
16	14, 15	syl 16	. 2
17		eqid 2457	. . . . . . 7
18	17	domss2 7696	. . . . . 6
19	18	simp1d 1008	. . . . 5
20		f1of1 5820	. . . . 5
21	19, 20	syl 16	. . . 4
22		ssv 3523	. . . 4
23		f1ss 5791	. . . 4
24	21, 22, 23	sylancl 662	. . 3
25	18	simp3d 1010	. . 3
26	24, 25	jca 532	. 2
27		f1eq1 5781	. . . 4
28		coeq1 5165	. . . . 5
29	28	eqeq1d 2459	. . . 4
30	27, 29	anbi12d 710	. . 3
31	30	spcegv 3195	. 2
32	16, 26, 31	sylc 60	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  C_wss 3475  ~Pcpw 4012  {csn 4029  U.cuni 4249  cid 4795  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  rancrn 5005  |`cres 5006  o.ccom 5008  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592  c1st 6798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-en 7537