MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domtriom Unicode version

Theorem domtriom 8844
Description: Trichotomy of equinumerosity for , proven using CC. Equivalently, all Dedekind-finite sets (as in isfin4-2 8715) are finite in the usual sense and conversely. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
domtriom.1
Assertion
Ref Expression
domtriom

Proof of Theorem domtriom
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domnsym 7663 . 2
2 isfinite 8090 . . 3
3 domtriom.1 . . . 4
4 eqid 2457 . . . 4
5 fveq2 5871 . . . . . 6
6 fveq2 5871 . . . . . . . 8
76cbviunv 4369 . . . . . . 7
8 iuneq1 4344 . . . . . . 7
97, 8syl5eq 2510 . . . . . 6
105, 9difeq12d 3622 . . . . 5
1110cbvmptv 4543 . . . 4
123, 4, 11domtriomlem 8843 . . 3
132, 12sylnbir 307 . 2
141, 13impbii 188 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  <->wb 184  /\wa 369  e.wcel 1818  {cab 2442   cvv 3109  \cdif 3472  C_wss 3475  ~Pcpw 4012  U_ciun 4330   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  `cfv 5593   com 6700   cen 7533   cdom 7534   csdm 7535   cfn 7536
This theorem is referenced by:  fin41  8845  dominf  8846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cc 8836
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-cda 8569
  Copyright terms: Public domain W3C validator