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Theorem domtriomlem 8843
Description: Lemma for domtriom 8844. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
domtriomlem.1
domtriomlem.2
domtriomlem.3
Assertion
Ref Expression
domtriomlem
Distinct variable groups:   , , ,   ,   , ,   ,   ,

Proof of Theorem domtriomlem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domtriomlem.2 . . . . 5
2 domtriomlem.1 . . . . . . 7
32pwex 4635 . . . . . 6
4 simpl 457 . . . . . . . 8
54ss2abi 3571 . . . . . . 7
6 df-pw 4014 . . . . . . 7
75, 6sseqtr4i 3536 . . . . . 6
83, 7ssexi 4597 . . . . 5
91, 8eqeltri 2541 . . . 4
10 omex 8081 . . . . 5
1110enref 7568 . . . 4
129, 11axcc3 8839 . . 3
13 nfv 1707 . . . . . . . 8
14 nfra1 2838 . . . . . . . 8
1513, 14nfan 1928 . . . . . . 7
16 nnfi 7730 . . . . . . . . . . . . . 14
17 pwfi 7835 . . . . . . . . . . . . . 14
1816, 17sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13
19 ficardom 8363 . . . . . . . . . . . . 13
20 isinf 7753 . . . . . . . . . . . . . 14
21 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2221anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2322exbidv 1714 . . . . . . . . . . . . . . 15
2423rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . . 14
2520, 24syl5 32 . . . . . . . . . . . . 13
2618, 19, 253syl 20 . . . . . . . . . . . 12
27 finnum 8350 . . . . . . . . . . . . . . 15
28 cardid2 8355 . . . . . . . . . . . . . . 15
29 entr 7587 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3029expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . 15
3118, 27, 28, 304syl 21 . . . . . . . . . . . . . 14
3231anim2d 565 . . . . . . . . . . . . 13
3332eximdv 1710 . . . . . . . . . . . 12
3426, 33syld 44 . . . . . . . . . . 11
351neeq1i 2742 . . . . . . . . . . . 12
36 abn0 3804 . . . . . . . . . . . 12
3735, 36bitri 249 . . . . . . . . . . 11
3834, 37syl6ibr 227 . . . . . . . . . 10
3938com12 31 . . . . . . . . 9
4039adantr 465 . . . . . . . 8
41 rsp 2823 . . . . . . . . 9
4241adantl 466 . . . . . . . 8
4340, 42mpdd 40 . . . . . . 7
4415, 43ralrimi 2857 . . . . . 6
45443adant2 1015 . . . . 5
46453expib 1199 . . . 4
4746eximdv 1710 . . 3
4812, 47mpi 17 . 2
49 axcc2 8838 . . . . 5
50 simp2 997 . . . . . . . 8
51 nfra1 2838 . . . . . . . . . . 11
52 nfra1 2838 . . . . . . . . . . 11
5351, 52nfan 1928 . . . . . . . . . 10
54 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . . . 16
55 sseq1 3524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
56 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5755, 56anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5854, 57, 1elab2 3249 . . . . . . . . . . . . . . 15
5958simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . 14
6059ralimi 2850 . . . . . . . . . . . . 13
61 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
62 pweq 4015 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6361, 62breq12d 4465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6463cbvralv 3084 . . . . . . . . . . . . . . 15
65 peano2 6720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
66 omelon 8084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6766onelssi 4991 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
68 ssralv 3563 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6965, 67, 683syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
70 pwsdompw 8605 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7170ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7269, 71syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . 16
73 sdomdif 7685 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7472, 73syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . 15
7564, 74syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . 14
76 difss 3630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7754, 76ssexi 4597 . . . . . . . . . . . . . . . 16
78 domtriomlem.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7978fvmpt2 5963 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8077, 79mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . 15
8180neeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . . 14
8275, 81sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . 13
8360, 82syl5com 30 . . . . . . . . . . . 12
8483adantr 465 . . . . . . . . . . 11
85 rsp 2823 . . . . . . . . . . . 12
8685adantl 466 . . . . . . . . . . 11
8784, 86mpdd 40 . . . . . . . . . 10
8853, 87ralrimi 2857 . . . . . . . . 9
89883adant2 1015 . . . . . . . 8
9050, 89jca 532 . . . . . . 7
91903expib 1199 . . . . . 6
9291eximdv 1710 . . . . 5
9349, 92mpi 17 . . . 4
94 simp2 997 . . . . . . . . . 10
95 nfra1 2838 . . . . . . . . . . . . 13
9651, 95nfan 1928 . . . . . . . . . . . 12
97 rsp 2823 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9897com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15
99 rsp 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10099com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10180eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
102 eldifi 3625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
103101, 102syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10458simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
105104sseld 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
106103, 105syl9 71 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
107100, 106syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . 16
108107com23 78 . . . . . . . . . . . . . . 15
10998, 108syld 44 . . . . . . . . . . . . . 14
110109com13 80 . . . . . . . . . . . . 13
111110imp 429 . . . . . . . . . . . 12
11296, 111ralrimi 2857 . . . . . . . . . . 11
1131123adant2 1015 . . . . . . . . . 10
114 ffnfv 6057 . . . . . . . . . 10
11594, 113, 114sylanbrc 664 . . . . . . . . 9
116 nfv 1707 . . . . . . . . . . . 12
117 nnord 6708 . . . . . . . . . . . . . . . 16
118 nnord 6708 . . . . . . . . . . . . . . . 16
119 ordtri3or 4915 . . . . . . . . . . . . . . . 16
120117, 118, 119syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15
12197, 101mpbidi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
12295, 121ralrimi 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
123 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
124 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
125124cbviunv 4369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
126 iuneq1 4344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
127125, 126syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
12861, 127difeq12d 3622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
129123, 128eleq12d 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
130129rspccv 3207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
131122, 130syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
132131com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1331323ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
134 eldifi 3625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
135 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
136134, 135syl5ib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1371363ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
138133, 137syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
139138imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
140 ssiun2 4373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
141140sseld 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
142139, 141syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1431423impib 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
144121com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1451443ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
146145imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
147146eldifbd 3488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1481473adant1 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
149143, 148pm2.21dd 174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1501493exp 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
151 ax-1 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
152151a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
153 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
154153ssiun2s 4374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
155154sseld 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
156102, 155syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
157146, 156syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1581573impib 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
159 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
160 eldifn 3626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
161159, 160syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1621613ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
163133, 162syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
164163a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1651643imp 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
166158, 165pm2.21dd 174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1671663exp 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
168150, 152, 1673jaoi 1291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
169168com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1701693expia 1198 . . . . . . . . . . . . . . 15
171120, 170mpid 41 . . . . . . . . . . . . . 14
172171com3r 79 . . . . . . . . . . . . 13
173172expd 436 . . . . . . . . . . . 12
17495, 116, 173ralrimd 2861 . . . . . . . . . . 11
175174ralrimiv 2869 . . . . . . . . . 10
1761753ad2ant3 1019 . . . . . . . . 9
177 dff13 6166 . . . . . . . . 9
178115, 176, 177sylanbrc 664 . . . . . . . 8
179 19.8a 1857 . . . . . . . 8
180178, 179syl 16 . . . . . . 7
1812brdom 7548 . . . . . . 7
182180, 181sylibr 212 . . . . . 6
1831823expib 1199 . . . . 5
184183exlimdv 1724 . . . 4
18593, 184mpd 15 . . 3
186185exlimiv 1722 . 2
18748, 186syl 16 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  \/w3o 972  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807   cvv 3109  \cdif 3472  C_wss 3475   c0 3784  ~Pcpw 4012  U_ciun 4330   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  Ordword 4882  succsuc 4885  domcdm 5004  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  `cfv 5593   com 6700   cen 7533   cdom 7534   csdm 7535   cfn 7536   ccrd 8337
This theorem is referenced by:  domtriom  8844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cc 8836
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-cda 8569
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