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Theorem domunfican 7813
Description: A finite set union cancellation law for dominance. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
domunfican

Proof of Theorem domunfican
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensym 7584 . . . 4
2 bren 7545 . . . 4
31, 2sylib 196 . . 3
4 ssid 3522 . . . . . . . 8
5 sseq1 3524 . . . . . . . . . . . . 13
65anbi1d 704 . . . . . . . . . . . 12
76anbi1d 704 . . . . . . . . . . 11
8 uneq1 3650 . . . . . . . . . . . . 13
9 imaeq2 5338 . . . . . . . . . . . . . 14
109uneq1d 3656 . . . . . . . . . . . . 13
118, 10breq12d 4465 . . . . . . . . . . . 12
1211bibi1d 319 . . . . . . . . . . 11
137, 12imbi12d 320 . . . . . . . . . 10
14 sseq1 3524 . . . . . . . . . . . . 13
1514anbi1d 704 . . . . . . . . . . . 12
1615anbi1d 704 . . . . . . . . . . 11
17 uneq1 3650 . . . . . . . . . . . . 13
18 imaeq2 5338 . . . . . . . . . . . . . 14
1918uneq1d 3656 . . . . . . . . . . . . 13
2017, 19breq12d 4465 . . . . . . . . . . . 12
2120bibi1d 319 . . . . . . . . . . 11
2216, 21imbi12d 320 . . . . . . . . . 10
23 sseq1 3524 . . . . . . . . . . . . 13
2423anbi1d 704 . . . . . . . . . . . 12
2524anbi1d 704 . . . . . . . . . . 11
26 uneq1 3650 . . . . . . . . . . . . 13
27 imaeq2 5338 . . . . . . . . . . . . . 14
2827uneq1d 3656 . . . . . . . . . . . . 13
2926, 28breq12d 4465 . . . . . . . . . . . 12
3029bibi1d 319 . . . . . . . . . . 11
3125, 30imbi12d 320 . . . . . . . . . 10
32 sseq1 3524 . . . . . . . . . . . . 13
3332anbi1d 704 . . . . . . . . . . . 12
3433anbi1d 704 . . . . . . . . . . 11
35 uneq1 3650 . . . . . . . . . . . . 13
36 imaeq2 5338 . . . . . . . . . . . . . 14
3736uneq1d 3656 . . . . . . . . . . . . 13
3835, 37breq12d 4465 . . . . . . . . . . . 12
3938bibi1d 319 . . . . . . . . . . 11
4034, 39imbi12d 320 . . . . . . . . . 10
41 uncom 3647 . . . . . . . . . . . . 13
42 un0 3810 . . . . . . . . . . . . 13
4341, 42eqtri 2486 . . . . . . . . . . . 12
44 ima0 5357 . . . . . . . . . . . . . 14
4544uneq1i 3653 . . . . . . . . . . . . 13
46 uncom 3647 . . . . . . . . . . . . . 14
47 un0 3810 . . . . . . . . . . . . . 14
4846, 47eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . 13
4945, 48eqtri 2486 . . . . . . . . . . . 12
5043, 49breq12i 4461 . . . . . . . . . . 11
5150a1i 11 . . . . . . . . . 10
52 ssun1 3666 . . . . . . . . . . . . . . 15
53 sstr2 3510 . . . . . . . . . . . . . . 15
5452, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14
5554anim1i 568 . . . . . . . . . . . . 13
5655anim1i 568 . . . . . . . . . . . 12
5756imim1i 58 . . . . . . . . . . 11
58 uncom 3647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5958uneq1i 3653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
60 unass 3660 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6159, 60eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
63 imaundi 5423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
64 simprlr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
65 f1ofn 5822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6664, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
67 ssun2 3667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
68 sstr2 3510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6967, 68ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
70 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7170snss 4154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7269, 71sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7372adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7473ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
75 fnsnfv 5933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7666, 74, 75syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7776eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7877uneq2d 3657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7963, 78syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8079uneq1d 3656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
81 uncom 3647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8281uneq1i 3653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
83 unass 3660 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8482, 83eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8580, 84syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8662, 85breq12d 4465 . . . . . . . . . . . . . . 15
87 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
88 incom 3690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
89 simprrl 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9088, 89syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
91 minel 3882 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9274, 90, 91syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
93 ioran 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
94 elun 3644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9593, 94xchnxbir 309 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9687, 92, 95sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . 16
97 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
98 f1of1 5820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9998adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
10054adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
101 f1elima 6171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
10299, 73, 100, 101syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
103102biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
104103adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10597, 104mtod 177 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
106105adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
107 f1of 5821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10864, 107syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
109108, 74ffvelrnd 6032 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
110 incom 3690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
111 simprrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
112110, 111syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
113 minel 3882 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
114109, 112, 113syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
115 ioran 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
116 elun 3644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
117115, 116xchnxbir 309 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
118106, 114, 117sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . 16
119 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
12070, 119domunsncan 7637 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12196, 118, 120syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15
12286, 121bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . 14
123 bitr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15
124123ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14
125122, 124syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
126125ex 434 . . . . . . . . . . . 12
127126a2d 26 . . . . . . . . . . 11
12857, 127syl5 32 . . . . . . . . . 10
12913, 22, 31, 40, 51, 128findcard2s 7781 . . . . . . . . 9
130129expd 436 . . . . . . . 8
1314, 130mpani 676 . . . . . . 7
1321313imp 1190 . . . . . 6
133 f1ofo 5828 . . . . . . . . . . 11
134 foima 5805 . . . . . . . . . . 11
135133, 134syl 16 . . . . . . . . . 10
136135uneq1d 3656 . . . . . . . . 9
137136breq2d 4464 . . . . . . . 8
138137bibi1d 319 . . . . . . 7
1391383ad2ant2 1018 . . . . . 6
140132, 139mpbid 210 . . . . 5
1411403exp 1195 . . . 4
142141exlimdv 1724 . . 3
1433, 142syl5 32 . 2
144143imp31 432 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029   class class class wbr 4452  "cima 5007  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593   cen 7533   cdom 7534   cfn 7536
This theorem is referenced by:  marypha1lem  7913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-fin 7540
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