Theorem domunfican 7813

Description: A finite set union cancellation law for dominance. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domunfican

Proof of Theorem domunfican

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensym 7584	. . . 4
2		bren 7545	. . . 4
3	1, 2	sylib 196	. . 3
4		ssid 3522	. . . . . . . 8
5		sseq1 3524	. . . . . . . . . . . . 13
6	5	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . 12
7	6	anbi1d 704	. . . . . . . . . . 11
8		uneq1 3650	. . . . . . . . . . . . 13
9		imaeq2 5338	. . . . . . . . . . . . . 14
10	9	uneq1d 3656	. . . . . . . . . . . . 13
11	8, 10	breq12d 4465	. . . . . . . . . . . 12
12	11	bibi1d 319	. . . . . . . . . . 11
13	7, 12	imbi12d 320	. . . . . . . . . 10
14		sseq1 3524	. . . . . . . . . . . . 13
15	14	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . 12
16	15	anbi1d 704	. . . . . . . . . . 11
17		uneq1 3650	. . . . . . . . . . . . 13
18		imaeq2 5338	. . . . . . . . . . . . . 14
19	18	uneq1d 3656	. . . . . . . . . . . . 13
20	17, 19	breq12d 4465	. . . . . . . . . . . 12
21	20	bibi1d 319	. . . . . . . . . . 11
22	16, 21	imbi12d 320	. . . . . . . . . 10
23		sseq1 3524	. . . . . . . . . . . . 13
24	23	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . 12
25	24	anbi1d 704	. . . . . . . . . . 11
26		uneq1 3650	. . . . . . . . . . . . 13
27		imaeq2 5338	. . . . . . . . . . . . . 14
28	27	uneq1d 3656	. . . . . . . . . . . . 13
29	26, 28	breq12d 4465	. . . . . . . . . . . 12
30	29	bibi1d 319	. . . . . . . . . . 11
31	25, 30	imbi12d 320	. . . . . . . . . 10
32		sseq1 3524	. . . . . . . . . . . . 13
33	32	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . 12
34	33	anbi1d 704	. . . . . . . . . . 11
35		uneq1 3650	. . . . . . . . . . . . 13
36		imaeq2 5338	. . . . . . . . . . . . . 14
37	36	uneq1d 3656	. . . . . . . . . . . . 13
38	35, 37	breq12d 4465	. . . . . . . . . . . 12
39	38	bibi1d 319	. . . . . . . . . . 11
40	34, 39	imbi12d 320	. . . . . . . . . 10
41		uncom 3647	. . . . . . . . . . . . 13
42		un0 3810	. . . . . . . . . . . . 13
43	41, 42	eqtri 2486	. . . . . . . . . . . 12
44		ima0 5357	. . . . . . . . . . . . . 14
45	44	uneq1i 3653	. . . . . . . . . . . . 13
46		uncom 3647	. . . . . . . . . . . . . 14
47		un0 3810	. . . . . . . . . . . . . 14
48	46, 47	eqtri 2486	. . . . . . . . . . . . 13
49	45, 48	eqtri 2486	. . . . . . . . . . . 12
50	43, 49	breq12i 4461	. . . . . . . . . . 11
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . 10
52		ssun1 3666	. . . . . . . . . . . . . . 15
53		sstr2 3510	. . . . . . . . . . . . . . 15
54	52, 53	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14
55	54	anim1i 568	. . . . . . . . . . . . 13
56	55	anim1i 568	. . . . . . . . . . . 12
57	56	imim1i 58	. . . . . . . . . . 11
58		uncom 3647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
59	58	uneq1i 3653	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
60		unass 3660	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
61	59, 60	eqtri 2486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16
63		imaundi 5423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
64		simprlr 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
65		f1ofn 5822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
66	64, 65	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
67		ssun2 3667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
68		sstr2 3510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
69	67, 68	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
70		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
71	70	snss 4154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
72	69, 71	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
73	72	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
74	73	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
75		fnsnfv 5933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
76	66, 74, 75	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
77	76	eqcomd 2465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
78	77	uneq2d 3657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
79	63, 78	syl5eq 2510	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
80	79	uneq1d 3656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
81		uncom 3647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
82	81	uneq1i 3653	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
83		unass 3660	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
84	82, 83	eqtri 2486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
85	80, 84	syl6eq 2514	. . . . . . . . . . . . . . . 16
86	62, 85	breq12d 4465	. . . . . . . . . . . . . . 15
87		simplr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
88		incom 3690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
89		simprrl 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
90	88, 89	syl5eq 2510	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
91		minel 3882	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
92	74, 90, 91	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
93		ioran 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
94		elun 3644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
95	93, 94	xchnxbir 309	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
96	87, 92, 95	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . . . . 16
97		simplr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
98		f1of1 5820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
99	98	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
100	54	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
101		f1elima 6171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
102	99, 73, 100, 101	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
103	102	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
104	103	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
105	97, 104	mtod 177	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
106	105	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
107		f1of 5821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
108	64, 107	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
109	108, 74	ffvelrnd 6032	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
110		incom 3690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
111		simprrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
112	110, 111	syl5eq 2510	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
113		minel 3882	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
114	109, 112, 113	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
115		ioran 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
116		elun 3644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
117	115, 116	xchnxbir 309	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
118	106, 114, 117	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . . . . 16
119		fvex 5881	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
120	70, 119	domunsncan 7637	. . . . . . . . . . . . . . . 16
121	96, 118, 120	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15
122	86, 121	bitrd 253	. . . . . . . . . . . . . 14
123		bitr 708	. . . . . . . . . . . . . . 15
124	123	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14
125	122, 124	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13
126	125	ex 434	. . . . . . . . . . . 12
127	126	a2d 26	. . . . . . . . . . 11
128	57, 127	syl5 32	. . . . . . . . . 10
129	13, 22, 31, 40, 51, 128	findcard2s 7781	. . . . . . . . 9
130	129	expd 436	. . . . . . . 8
131	4, 130	mpani 676	. . . . . . 7
132	131	3imp 1190	. . . . . 6
133		f1ofo 5828	. . . . . . . . . . 11
134		foima 5805	. . . . . . . . . . 11
135	133, 134	syl 16	. . . . . . . . . 10
136	135	uneq1d 3656	. . . . . . . . 9
137	136	breq2d 4464	. . . . . . . 8
138	137	bibi1d 319	. . . . . . 7
139	138	3ad2ant2 1018	. . . . . 6
140	132, 139	mpbid 210	. . . . 5
141	140	3exp 1195	. . . 4
142	141	exlimdv 1724	. . 3
143	3, 142	syl5 32	. 2
144	143	imp31 432	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475  c0 3784  {csn 4029   class class class wbr 4452  "cima 5007  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  cen 7533  cdom 7534  cfn 7536

This theorem is referenced by:  marypha1lem  7913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-fin 7540