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Theorem domunsncan 7637
Description: A singleton cancellation law for dominance. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
domunsncan.a
domunsncan.b
Assertion
Ref Expression
domunsncan

Proof of Theorem domunsncan
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssun2 3667 . . . 4
2 reldom 7542 . . . . . 6
32brrelex2i 5046 . . . . 5
43adantl 466 . . . 4
5 ssexg 4598 . . . 4
61, 4, 5sylancr 663 . . 3
7 brdomi 7547 . . . . 5
8 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
98resex 5322 . . . . . . . . . 10
10 simprr 757 . . . . . . . . . . 11
11 difss 3630 . . . . . . . . . . 11
12 f1ores 5835 . . . . . . . . . . 11
1310, 11, 12sylancl 662 . . . . . . . . . 10
14 f1oen3g 7551 . . . . . . . . . 10
159, 13, 14sylancr 663 . . . . . . . . 9
16 df-f1 5598 . . . . . . . . . . . . 13
1716simprbi 464 . . . . . . . . . . . 12
18 imadif 5668 . . . . . . . . . . . 12
1917, 18syl 16 . . . . . . . . . . 11
2019ad2antll 728 . . . . . . . . . 10
21 snex 4693 . . . . . . . . . . . . . 14
22 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . 14
23 unexg 6601 . . . . . . . . . . . . . 14
2421, 22, 23sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13
25 difexg 4600 . . . . . . . . . . . . 13
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . . 12
27 f1f 5786 . . . . . . . . . . . . . . . 16
28 imassrn 5353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
29 frn 5742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3028, 29syl5ss 3514 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3127, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
3231ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . 14
3332ssdifd 3639 . . . . . . . . . . . . 13
34 f1fn 5787 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3534ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15
36 domunsncan.a . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3736snid 4057 . . . . . . . . . . . . . . . 16
38 elun1 3670 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15
40 fnsnfv 5933 . . . . . . . . . . . . . . 15
4135, 39, 40sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14
4241difeq2d 3621 . . . . . . . . . . . . 13
4333, 42sseqtr4d 3540 . . . . . . . . . . . 12
44 ssdomg 7581 . . . . . . . . . . . 12
4526, 43, 44sylc 60 . . . . . . . . . . 11
46 ffvelrn 6029 . . . . . . . . . . . . . 14
4727, 39, 46sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13
4847ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12
49 domunsncan.b . . . . . . . . . . . . . 14
5049snid 4057 . . . . . . . . . . . . 13
51 elun1 3670 . . . . . . . . . . . . 13
5250, 51mp1i 12 . . . . . . . . . . . 12
53 difsnen 7619 . . . . . . . . . . . 12
5424, 48, 52, 53syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11
55 domentr 7594 . . . . . . . . . . 11
5645, 54, 55syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
5720, 56eqbrtrd 4472 . . . . . . . . 9
58 endomtr 7593 . . . . . . . . 9
5915, 57, 58syl2anc 661 . . . . . . . 8
60 uncom 3647 . . . . . . . . . . . 12
6160difeq1i 3617 . . . . . . . . . . 11
62 difun2 3907 . . . . . . . . . . 11
6361, 62eqtri 2486 . . . . . . . . . 10
64 difsn 4164 . . . . . . . . . 10
6563, 64syl5eq 2510 . . . . . . . . 9
6665ad2antrr 725 . . . . . . . 8
67 uncom 3647 . . . . . . . . . . . 12
6867difeq1i 3617 . . . . . . . . . . 11
69 difun2 3907 . . . . . . . . . . 11
7068, 69eqtri 2486 . . . . . . . . . 10
71 difsn 4164 . . . . . . . . . 10
7270, 71syl5eq 2510 . . . . . . . . 9
7372ad2antlr 726 . . . . . . . 8
7459, 66, 733brtr3d 4481 . . . . . . 7
7574expr 615 . . . . . 6
7675exlimdv 1724 . . . . 5
777, 76syl5 32 . . . 4
7877impancom 440 . . 3
796, 78mpd 15 . 2
80 en2sn 7615 . . . . 5
8136, 49, 80mp2an 672 . . . 4
82 endom 7562 . . . 4
8381, 82mp1i 12 . . 3
84 simpr 461 . . 3
85 incom 3690 . . . . 5
86 disjsn 4090 . . . . . 6
8786biimpri 206 . . . . 5
8885, 87syl5eq 2510 . . . 4
8988ad2antlr 726 . . 3
90 undom 7625 . . 3
9183, 84, 89, 90syl21anc 1227 . 2
9279, 91impbida 832 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818   cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  {csn 4029   class class class wbr 4452  `'ccnv 5003  rancrn 5005  |`cres 5006  "cima 5007  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593   cen 7533   cdom 7534
This theorem is referenced by:  domunfican  7813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538
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