Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdsn Unicode version

Theorem dprdsn 16708
 Description: A singleton family is an internal direct product, the product of which is the given subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
dprdsn

Proof of Theorem dprdsn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . 3
2 eqid 2454 . . 3
3 eqid 2454 . . 3
4 subgrcl 15845 . . . 4
6 snex 4650 . . . 4
76a1i 11 . . 3
8 f1osng 5801 . . . . 5
9 f1of 5763 . . . . 5
108, 9syl 16 . . . 4
11 simpr 461 . . . . 5
1211snssd 4135 . . . 4
13 fss 5687 . . . 4
1410, 12, 13syl2anc 661 . . 3
15 simpr1 994 . . . . . 6
16 elsni 4018 . . . . . 6
1715, 16syl 16 . . . . 5
18 simpr2 995 . . . . . 6
19 elsni 4018 . . . . . 6
2018, 19syl 16 . . . . 5
2117, 20eqtr4d 2498 . . . 4
22 simpr3 996 . . . 4
2321, 22pm2.21ddne 2767 . . 3
245adantr 465 . . . . . . . 8
25 eqid 2454 . . . . . . . . 9
2625subgacs 15875 . . . . . . . 8
27 acsmre 14749 . . . . . . . 8
2824, 26, 273syl 20 . . . . . . 7
2916adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
3029sneqd 4005 . . . . . . . . . . . . . 14
3130difeq2d 3588 . . . . . . . . . . . . 13
32 difid 3861 . . . . . . . . . . . . 13
3331, 32syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . 12
3433imaeq2d 5288 . . . . . . . . . . 11
35 ima0 5303 . . . . . . . . . . 11
3634, 35syl6eq 2511 . . . . . . . . . 10
3736unieqd 4218 . . . . . . . . 9
38 uni0 4235 . . . . . . . . 9
3937, 38syl6eq 2511 . . . . . . . 8
40 0ss 3780 . . . . . . . . 9
4140a1i 11 . . . . . . . 8
4239, 41eqsstrd 3504 . . . . . . 7
4320subg 15865 . . . . . . . 8
4424, 43syl 16 . . . . . . 7
453mrcsscl 14717 . . . . . . 7
4628, 42, 44, 45syl3anc 1219 . . . . . 6
472subg0cl 15848 . . . . . . . . 9
4847ad2antlr 726 . . . . . . . 8
4916fveq2d 5817 . . . . . . . . 9
50 fvsng 6037 . . . . . . . . 9
5149, 50sylan9eqr 2517 . . . . . . . 8
5248, 51eleqtrrd 2545 . . . . . . 7
5352snssd 4135 . . . . . 6
5446, 53sstrd 3480 . . . . 5
55 dfss1 3669 . . . . 5
5654, 55sylib 196 . . . 4
5756, 46eqsstrd 3504 . . 3
581, 2, 3, 5, 7, 14, 23, 57dmdprdd 16656 . 2
593dprdspan 16699 . . . 4
6058, 59syl 16 . . 3
61 rnsnopg 5437 . . . . . . . 8
6261adantr 465 . . . . . . 7
6362unieqd 4218 . . . . . 6
64 unisng 4224 . . . . . . 7
6564adantl 466 . . . . . 6
6663, 65eqtrd 2495 . . . . 5
6766fveq2d 5817 . . . 4
685, 26, 273syl 20 . . . . 5
693mrcid 14710 . . . . 5
7068, 11, 69syl2anc 661 . . . 4
7167, 70eqtrd 2495 . . 3
7260, 71eqtrd 2495 . 2
7358, 72jca 532 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 965  =wceq 1370  e.wcel 1758  =/=wne 2648   cvv 3081  \cdif 3439  i^icin 3441  C_wss 3442   c0 3751  {csn 3993  <.cop 3999  U.cuni 4208   class class class wbr 4409  domcdm 4957  rancrn 4958  "cima 4960  -->wf 5533  -1-1-onto->wf1o 5536  `cfv 5537  (class class class)co 6222   cbs 14332   c0g 14537   cmre 14679   cmrc 14680   cacs 14682   cgrp 15569   csubg 15834   ccntz 15992   cdprd 16650 This theorem is referenced by:  dprd2da  16716  dmdprdpr  16723  dprdpr  16724  dpjlem  16725  pgpfaclem1  16757 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-inf2 7984  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-int 4246  df-iun 4290  df-iin 4291  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-of 6453  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-supp 6825  df-tpos 6879  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-1o 7054  df-oadd 7058  df-er 7235  df-map 7350  df-ixp 7398  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-fin 7448  df-fsupp 7756  df-oi 7861  df-card 8246  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-nn 10461  df-2 10518  df-n0 10718  df-z 10785  df-uz 11001  df-fz 11583  df-fzo 11694  df-seq 11964  df-hash 12261  df-ndx 14335  df-slot 14336  df-base 14337  df-sets 14338  df-ress 14339  df-plusg 14410  df-0g 14539  df-gsum 14540  df-mre 14683  df-mrc 14684  df-acs 14686  df-mnd 15574  df-mhm 15623  df-submnd 15624  df-grp 15704  df-minusg 15705  df-sbg 15706  df-mulg 15707  df-subg 15837  df-ghm 15904  df-gim 15946  df-cntz 15994  df-oppg 16020  df-cmn 16440  df-dprd 16652
 Copyright terms: Public domain W3C validator