MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdsn Unicode version

Theorem dprdsn 16403
Description: A singleton family is an internal direct product, the product of which is the given subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
dprdsn

Proof of Theorem dprdsn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2422 . . 3
2 eqid 2422 . . 3
3 eqid 2422 . . 3
4 subgrcl 15623 . . . 4
54adantl 456 . . 3
6 snex 4505 . . . 4
76a1i 11 . . 3
8 f1osng 5649 . . . . 5
9 f1of 5611 . . . . 5
108, 9syl 16 . . . 4
11 simpr 451 . . . . 5
1211snssd 3993 . . . 4
13 fss 5537 . . . 4
1410, 12, 13syl2anc 646 . . 3
15 simpr1 979 . . . . . 6
16 elsni 3879 . . . . . 6
1715, 16syl 16 . . . . 5
18 simpr2 980 . . . . . 6
19 elsni 3879 . . . . . 6
2018, 19syl 16 . . . . 5
2117, 20eqtr4d 2457 . . . 4
22 simpr3 981 . . . 4
2321, 22pm2.21ddne 2664 . . 3
245adantr 455 . . . . . . . 8
25 eqid 2422 . . . . . . . . 9
2625subgacs 15653 . . . . . . . 8
27 acsmre 14530 . . . . . . . 8
2824, 26, 273syl 19 . . . . . . 7
2916adantl 456 . . . . . . . . . . . . . . 15
3029sneqd 3866 . . . . . . . . . . . . . 14
3130difeq2d 3451 . . . . . . . . . . . . 13
32 difid 3724 . . . . . . . . . . . . 13
3331, 32syl6eq 2470 . . . . . . . . . . . 12
3433imaeq2d 5141 . . . . . . . . . . 11
35 ima0 5156 . . . . . . . . . . 11
3634, 35syl6eq 2470 . . . . . . . . . 10
3736unieqd 4076 . . . . . . . . 9
38 uni0 4093 . . . . . . . . 9
3937, 38syl6eq 2470 . . . . . . . 8
40 0ss 3643 . . . . . . . . 9
4140a1i 11 . . . . . . . 8
4239, 41eqsstrd 3367 . . . . . . 7
4320subg 15643 . . . . . . . 8
4424, 43syl 16 . . . . . . 7
453mrcsscl 14498 . . . . . . 7
4628, 42, 44, 45syl3anc 1203 . . . . . 6
472subg0cl 15626 . . . . . . . . 9
4847ad2antlr 711 . . . . . . . 8
4916fveq2d 5665 . . . . . . . . 9
50 fvsng 5881 . . . . . . . . 9
5149, 50sylan9eqr 2476 . . . . . . . 8
5248, 51eleqtrrd 2499 . . . . . . 7
5352snssd 3993 . . . . . 6
5446, 53sstrd 3343 . . . . 5
55 dfss1 3532 . . . . 5
5654, 55sylib 190 . . . 4
5756, 46eqsstrd 3367 . . 3
581, 2, 3, 5, 7, 14, 23, 57dmdprdd 16369 . 2
593dprdspan 16394 . . . 4
6058, 59syl 16 . . 3
61 rnsnopg 5290 . . . . . . . 8
6261adantr 455 . . . . . . 7
6362unieqd 4076 . . . . . 6
64 unisng 4082 . . . . . . 7
6564adantl 456 . . . . . 6
6663, 65eqtrd 2454 . . . . 5
6766fveq2d 5665 . . . 4
685, 26, 273syl 19 . . . . 5
693mrcid 14491 . . . . 5
7068, 11, 69syl2anc 646 . . . 4
7167, 70eqtrd 2454 . . 3
7260, 71eqtrd 2454 . 2
7358, 72jca 522 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 362  /\w3a 950  =wceq 1687  e.wcel 1749  =/=wne 2585   cvv 2951  \cdif 3302  i^icin 3304  C_wss 3305   c0 3614  {csn 3853  <.cop 3856  U.cuni 4066   class class class wbr 4267  domcdm 4811  rancrn 4812  "cima 4814  -->wf 5386  -1-1-onto->wf1o 5389  `cfv 5390  (class class class)co 6061   cbs 14114   c0g 14318   cmre 14460   cmrc 14461   cacs 14463   cgrp 15350   csubg 15612   ccntz 15770   cdprd 16363
This theorem is referenced by:  dprd2da  16409  dmdprdpr  16416  dprdpr  16417  dpjlem  16418  pgpfaclem1  16448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-inf2 7794  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-int 4104  df-iun 4148  df-iin 4149  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-se 4651  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-isom 5399  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-of 6290  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-tpos 6707  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-1o 6881  df-oadd 6885  df-er 7062  df-map 7177  df-ixp 7223  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-fin 7273  df-oi 7671  df-card 8056  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-nn 10269  df-2 10326  df-n0 10526  df-z 10592  df-uz 10807  df-fz 11382  df-fzo 11490  df-seq 11748  df-hash 12045  df-ndx 14117  df-slot 14118  df-base 14119  df-sets 14120  df-ress 14121  df-plusg 14191  df-0g 14320  df-gsum 14321  df-mre 14464  df-mrc 14465  df-acs 14467  df-mnd 15355  df-mhm 15404  df-submnd 15405  df-grp 15482  df-minusg 15483  df-sbg 15484  df-mulg 15485  df-subg 15615  df-ghm 15682  df-gim 15724  df-cntz 15772  df-oppg 15798  df-cmn 16216  df-dprd 16365
  Copyright terms: Public domain W3C validator