MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvds0 Unicode version

Theorem dvds0 13999
Description: Any integer divides 0. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvds0

Proof of Theorem dvds0
StepHypRef Expression
1 zcn 10894 . . 3
21mul02d 9799 . 2
3 0z 10900 . . 3
4 dvds0lem 13994 . . . 4
54ex 434 . . 3
63, 3, 5mp3an13 1315 . 2
72, 6mpd 15 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  0cc0 9513   cmul 9518   cz 10889   cdvds 13986
This theorem is referenced by:  0dvds  14004  fsumdvds  14029  alzdvds  14036  fzo0dvdseq  14039  bitsfzo  14085  bitsmod  14086  bitsinv1lem  14091  sadadd3  14111  gcddvds  14153  gcd0id  14161  bezoutlem4  14179  dvdssq  14198  mulgcddvds  14245  odzdvds  14322  pcdvdsb  14392  pcz  14404  sylow2blem3  16642  odadd1  16854  odadd2  16855  cyggex2  16899  ppiublem2  23478  lgsdir2lem3  23600  lgsne0  23608  lgsqr  23621  eupath2lem3  24979  eupath2  24980  nn0prpw  30141  congid  30909  jm2.18  30930  jm2.19  30935  jm2.22  30937  jm2.23  30938  dvdslcm  31204  lcmdvds  31214  etransclem24  32041  etransclem25  32042  etransclem28  32045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-ltxr 9654  df-neg 9831  df-z 10890  df-dvds 13987
  Copyright terms: Public domain W3C validator