MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvds2ln Unicode version

Theorem dvds2ln 14014
Description: If an integer divides each of two other integers, it divides any linear combination of them. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvds2ln

Proof of Theorem dvds2ln
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 1002 . . 3
2 simpr2 1003 . . 3
31, 2jca 532 . 2
4 simpr3 1004 . . 3
51, 4jca 532 . 2
6 simpll 753 . . . . 5
76, 2zmulcld 11000 . . . 4
8 simplr 755 . . . . 5
98, 4zmulcld 11000 . . . 4
107, 9zaddcld 10998 . . 3
111, 10jca 532 . 2
12 zmulcl 10937 . . . . . . . 8
13 zmulcl 10937 . . . . . . . 8
1412, 13anim12i 566 . . . . . . 7
1514an4s 826 . . . . . 6
1615expcom 435 . . . . 5
1716adantr 465 . . . 4
1817imp 429 . . 3
19 zaddcl 10929 . . 3
2018, 19syl 16 . 2
21 zcn 10894 . . . . . . . 8
22 zcn 10894 . . . . . . . 8
2321, 22anim12i 566 . . . . . . 7
2418, 23syl 16 . . . . . 6
251zcnd 10995 . . . . . . 7
2625adantr 465 . . . . . 6
27 adddir 9608 . . . . . . 7
28273expa 1196 . . . . . 6
2924, 26, 28syl2anc 661 . . . . 5
30 zcn 10894 . . . . . . . . 9
3130adantr 465 . . . . . . . 8
3231adantl 466 . . . . . . 7
33 zcn 10894 . . . . . . . 8
3433ad3antrrr 729 . . . . . . 7
3532, 34, 26mul32d 9811 . . . . . 6
36 zcn 10894 . . . . . . . . 9
3736adantl 466 . . . . . . . 8
3837adantl 466 . . . . . . 7
398zcnd 10995 . . . . . . . 8
4039adantr 465 . . . . . . 7
4138, 40, 26mul32d 9811 . . . . . 6
4235, 41oveq12d 6314 . . . . 5
4332, 26mulcld 9637 . . . . . . 7
4443, 34mulcomd 9638 . . . . . 6
4538, 26mulcld 9637 . . . . . . 7
4645, 40mulcomd 9638 . . . . . 6
4744, 46oveq12d 6314 . . . . 5
4829, 42, 473eqtrd 2502 . . . 4
49 oveq2 6304 . . . . 5
50 oveq2 6304 . . . . 5
5149, 50oveqan12d 6315 . . . 4
5248, 51sylan9eq 2518 . . 3
5352ex 434 . 2
543, 5, 11, 20, 53dvds2lem 13996 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cc 9511   caddc 9516   cmul 9518   cz 10889   cdvds 13986
This theorem is referenced by:  gcdaddmlem  14166  dvdsgcd  14181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-dvds 13987
  Copyright terms: Public domain W3C validator