Theorem dvds2ln 14014

Description: If an integer divides each of two other integers, it divides any linear combination of them. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvds2ln

Proof of Theorem dvds2ln

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 1002	. . 3
2		simpr2 1003	. . 3
3	1, 2	jca 532	. 2
4		simpr3 1004	. . 3
5	1, 4	jca 532	. 2
6		simpll 753	. . . . 5
7	6, 2	zmulcld 11000	. . . 4
8		simplr 755	. . . . 5
9	8, 4	zmulcld 11000	. . . 4
10	7, 9	zaddcld 10998	. . 3
11	1, 10	jca 532	. 2
12		zmulcl 10937	. . . . . . . 8
13		zmulcl 10937	. . . . . . . 8
14	12, 13	anim12i 566	. . . . . . 7
15	14	an4s 826	. . . . . 6
16	15	expcom 435	. . . . 5
17	16	adantr 465	. . . 4
18	17	imp 429	. . 3
19		zaddcl 10929	. . 3
20	18, 19	syl 16	. 2
21		zcn 10894	. . . . . . . 8
22		zcn 10894	. . . . . . . 8
23	21, 22	anim12i 566	. . . . . . 7
24	18, 23	syl 16	. . . . . 6
25	1	zcnd 10995	. . . . . . 7
26	25	adantr 465	. . . . . 6
27		adddir 9608	. . . . . . 7
28	27	3expa 1196	. . . . . 6
29	24, 26, 28	syl2anc 661	. . . . 5
30		zcn 10894	. . . . . . . . 9
31	30	adantr 465	. . . . . . . 8
32	31	adantl 466	. . . . . . 7
33		zcn 10894	. . . . . . . 8
34	33	ad3antrrr 729	. . . . . . 7
35	32, 34, 26	mul32d 9811	. . . . . 6
36		zcn 10894	. . . . . . . . 9
37	36	adantl 466	. . . . . . . 8
38	37	adantl 466	. . . . . . 7
39	8	zcnd 10995	. . . . . . . 8
40	39	adantr 465	. . . . . . 7
41	38, 40, 26	mul32d 9811	. . . . . 6
42	35, 41	oveq12d 6314	. . . . 5
43	32, 26	mulcld 9637	. . . . . . 7
44	43, 34	mulcomd 9638	. . . . . 6
45	38, 26	mulcld 9637	. . . . . . 7
46	45, 40	mulcomd 9638	. . . . . 6
47	44, 46	oveq12d 6314	. . . . 5
48	29, 42, 47	3eqtrd 2502	. . . 4
49		oveq2 6304	. . . . 5
50		oveq2 6304	. . . . 5
51	49, 50	oveqan12d 6315	. . . 4
52	48, 51	sylan9eq 2518	. . 3
53	52	ex 434	. 2
54	3, 5, 11, 20, 53	dvds2lem 13996	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  cc 9511  caddc 9516  cmul 9518  cz 10889  cdvds 13986

This theorem is referenced by:  gcdaddmlem  14166  dvdsgcd  14181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-dvds 13987