Theorem dvdscmulr 14012

Description: Cancellation law for the divides relation. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvdscmulr

Proof of Theorem dvdscmulr

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmulcl 10937	. . . . . . 7
2	1	3adant3 1016	. . . . . 6
3		zmulcl 10937	. . . . . . 7
4	3	3adant2 1015	. . . . . 6
5	2, 4	jca 532	. . . . 5
6	5	3coml 1203	. . . 4
7	6	3adant3r 1225	. . 3
8		3simpa 993	. . 3
9		simpr 461	. . 3
10		zcn 10894	. . . . . . . . . . . 12
11		zcn 10894	. . . . . . . . . . . 12
12	10, 11	anim12i 566	. . . . . . . . . . 11
13		zcn 10894	. . . . . . . . . . 11
14		zcn 10894	. . . . . . . . . . . 12
15	14	anim1i 568	. . . . . . . . . . 11
16		mul12 9767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
17	16	3adant1r 1221	. . . . . . . . . . . . . . . 16
18	17	3expb 1197	. . . . . . . . . . . . . . 15
19	18	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . . 14
20	19	3adant2 1015	. . . . . . . . . . . . 13
21	20	eqeq1d 2459	. . . . . . . . . . . 12
22		mulcl 9597	. . . . . . . . . . . . 13
23		mulcan 10211	. . . . . . . . . . . . 13
24	22, 23	syl3an1 1261	. . . . . . . . . . . 12
25	21, 24	bitr3d 255	. . . . . . . . . . 11
26	12, 13, 15, 25	syl3an 1270	. . . . . . . . . 10
27	26	3expb 1197	. . . . . . . . 9
28	27	3impa 1191	. . . . . . . 8
29	28	3coml 1203	. . . . . . 7
30	29	3expia 1198	. . . . . 6
31	30	3impb 1192	. . . . 5
32	31	imp 429	. . . 4
33	32	biimpd 207	. . 3
34	7, 8, 9, 33	dvds1lem 13995	. 2
35		dvdscmul 14010	. . 3
36	35	3adant3r 1225	. 2
37	34, 36	impbid 191	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  cc 9511  0cc0 9513  cmul 9518  cz 10889  cdvds 13986

This theorem is referenced by:  bitsmod  14086  mulgcd  14184  pcpremul  14367  4sqlem17  14479  odmulg  16578  ablfacrp2  17118  ablfac1b  17121  pgpfac1lem3a  17127  znrrg  18604  fsumdvdsdiaglem  23459  oddpwdc  28293  jm2.20nn  30939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-dvds 13987