MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdseq Unicode version

Theorem dvdseq 14033
Description: If two integers divide each other, they must be equal, up to a difference in sign. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdseq

Proof of Theorem dvdseq
StepHypRef Expression
1 elnn0 10822 . . 3
2 simprl 756 . . . . . . 7
3 nn0z 10912 . . . . . . . . 9
43ad2antrr 725 . . . . . . . 8
5 simplr 755 . . . . . . . 8
6 dvdsle 14031 . . . . . . . 8
74, 5, 6syl2anc 661 . . . . . . 7
82, 7mpd 15 . . . . . 6
9 simprr 757 . . . . . . 7
10 nnz 10911 . . . . . . . . 9
1110ad2antlr 726 . . . . . . . 8
12 nnne0 10593 . . . . . . . . . . 11
1312ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10
14 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . 14
1514biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . 13
1615ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12
17 0dvds 14004 . . . . . . . . . . . . 13
1811, 17syl 16 . . . . . . . . . . . 12
1916, 18sylibd 214 . . . . . . . . . . 11
2019necon3ad 2667 . . . . . . . . . 10
2113, 20mpd 15 . . . . . . . . 9
22 simpll 753 . . . . . . . . . . 11
23 elnn0 10822 . . . . . . . . . . 11
2422, 23sylib 196 . . . . . . . . . 10
2524ord 377 . . . . . . . . 9
2621, 25mt3d 125 . . . . . . . 8
27 dvdsle 14031 . . . . . . . 8
2811, 26, 27syl2anc 661 . . . . . . 7
299, 28mpd 15 . . . . . 6
30 nn0re 10829 . . . . . . . 8
31 nnre 10568 . . . . . . . 8
32 letri3 9691 . . . . . . . 8
3330, 31, 32syl2an 477 . . . . . . 7
3433adantr 465 . . . . . 6
358, 29, 34mpbir2and 922 . . . . 5
3635ex 434 . . . 4
37 simpr 461 . . . . 5
38 breq1 4455 . . . . . . 7
39 0dvds 14004 . . . . . . . 8
403, 39syl 16 . . . . . . 7
4138, 40sylan9bbr 700 . . . . . 6
42 simpr 461 . . . . . . 7
4342eqeq2d 2471 . . . . . 6
4441, 43bitr4d 256 . . . . 5
4537, 44syl5ib 219 . . . 4
4636, 45jaodan 785 . . 3
471, 46sylan2b 475 . 2
4847imp 429 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452   cr 9512  0cc0 9513   cle 9650   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   cdvds 13986
This theorem is referenced by:  dvds1  14034  dvdsext  14037  mulgcd  14184  rpmulgcd2  14246  isprm6  14250  pc11  14403  pcprmpw2  14405  odeq  16574  odadd  16856  gexexlem  16858  lt6abl  16897  cyggex2  16899  ablfacrp2  17118  ablfac1c  17122  ablfac1eu  17124  znidomb  18600  dvdsmulf1o  23470  lcmgcdeq  31216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-dvds 13987
  Copyright terms: Public domain W3C validator