MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsle Unicode version

Theorem dvdsle 14031
Description: The divisors of a positive integer are bounded by it. The proof does not use . (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvdsle

Proof of Theorem dvdsle
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . 13
2 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . 14
32neeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . 13
41, 3imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12
5 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . 13
6 neeq2 2740 . . . . . . . . . . . . 13
75, 6imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12
8 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . 14
98neeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . 13
109imbi2d 316 . . . . . . . . . . . 12
11 1z 10919 . . . . . . . . . . . . . 14
1211elimel 4004 . . . . . . . . . . . . 13
13 1nn 10572 . . . . . . . . . . . . . 14
1413elimel 4004 . . . . . . . . . . . . 13
1511elimel 4004 . . . . . . . . . . . . 13
1612, 14, 15dvdslelem 14030 . . . . . . . . . . . 12
174, 7, 10, 16dedth3h 3995 . . . . . . . . . . 11
18173expia 1198 . . . . . . . . . 10
1918com23 78 . . . . . . . . 9
20193impia 1193 . . . . . . . 8
2120imp 429 . . . . . . 7
2221neneqd 2659 . . . . . 6
2322nrexdv 2913 . . . . 5
24 nnz 10911 . . . . . . 7
25 divides 13988 . . . . . . 7
2624, 25sylan2 474 . . . . . 6
27263adant3 1016 . . . . 5
2823, 27mtbird 301 . . . 4
29283expia 1198 . . 3
3029con2d 115 . 2
31 zre 10893 . . 3
32 nnre 10568 . . 3
33 lenlt 9684 . . 3
3431, 32, 33syl2an 477 . 2
3530, 34sylibrd 234 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808  ifcif 3941   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cr 9512  1c1 9514   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cn 10561   cz 10889   cdvds 13986
This theorem is referenced by:  dvdsleabs  14032  dvdseq  14033  n2dvds1  14035  fzm1ndvds  14038  fzo0dvdseq  14039  gcd1  14170  bezoutlem4  14179  gcdeq  14190  isprm3  14226  qredeq  14247  isprm6  14250  isprm5  14253  maxprmfct  14254  prmfac1  14259  pcpre1  14366  pcidlem  14395  pcprod  14414  pcfac  14418  pockthg  14424  prmreclem1  14434  prmreclem3  14436  prmreclem5  14438  1arith  14445  4sqlem11  14473  gexcl2  16609  sylow1lem1  16618  sylow1lem5  16622  gexex  16859  ablfac1eu  17124  ablfaclem3  17138  znidomb  18600  sgmss  23380  dvdsflsumcom  23464  chtublem  23486  vmasum  23491  logfac2  23492  bposlem6  23564  lgsdir  23605  lgsdilem2  23606  lgsne0  23608  lgsqrlem2  23617  lgsquadlem2  23630  2sqlem8  23647  2sqblem  23652  2sqmod  27636  oddpwdc  28293  nn0prpw  30141  bezoutr1  30924  lcmgcdlem  31212  nznngen  31221  etransclem41  32058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-dvds 13987
  Copyright terms: Public domain W3C validator