Theorem dvdslelem 14030

Description: Lemma for dvdsle 14031. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdslelem.1
dvdslelem.2
dvdslelem.3

Assertion

Ref	Expression
dvdslelem

Proof of Theorem dvdslelem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdslelem.3	. . . . . 6
2	1	zrei 10895	. . . . 5
3		0re 9617	. . . . 5
4		lelttric 9712	. . . . 5
5	2, 3, 4	mp2an 672	. . . 4
6		zgt0ge1 10942	. . . . . 6
7	1, 6	ax-mp 5	. . . . 5
8	7	orbi2i 519	. . . 4
9	5, 8	mpbi 208	. . 3
10		le0neg1 10085	. . . . . . . . 9
11	2, 10	ax-mp 5	. . . . . . . 8
12		dvdslelem.2	. . . . . . . . . . . 12
13	12	nngt0i 10594	. . . . . . . . . . 11
14	12	nnrei 10570	. . . . . . . . . . . 12
15		dvdslelem.1	. . . . . . . . . . . . 13
16	15	zrei 10895	. . . . . . . . . . . 12
17	3, 14, 16	lttri 9731	. . . . . . . . . . 11
18	13, 17	mpan 670	. . . . . . . . . 10
19	3, 16	ltlei 9727	. . . . . . . . . 10
20	18, 19	syl 16	. . . . . . . . 9
21	2	renegcli 9903	. . . . . . . . . 10
22	21, 16	mulge0i 10125	. . . . . . . . 9
23	20, 22	sylan2 474	. . . . . . . 8
24	11, 23	sylanb 472	. . . . . . 7
25	24	expcom 435	. . . . . 6
26	2, 16	remulcli 9631	. . . . . . . 8
27		le0neg1 10085	. . . . . . . 8
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . 7
29	2	recni 9629	. . . . . . . . 9
30	16	recni 9629	. . . . . . . . 9
31	29, 30	mulneg1i 10027	. . . . . . . 8
32	31	breq2i 4460	. . . . . . 7
33	28, 32	bitr4i 252	. . . . . 6
34	25, 33	syl6ibr 227	. . . . 5
35	26, 3, 14	lelttri 9732	. . . . . 6
36	13, 35	mpan2 671	. . . . 5
37	34, 36	syl6 33	. . . 4
38		lemulge12 10430	. . . . . . . 8
39	16, 2, 38	mpanl12 682	. . . . . . 7
40	20, 39	sylan 471	. . . . . 6
41	40	ex 434	. . . . 5
42	14, 16, 26	ltletri 9733	. . . . . 6
43	42	ex 434	. . . . 5
44	41, 43	syld 44	. . . 4
45	37, 44	orim12d 838	. . 3
46	9, 45	mpi 17	. 2
47	26, 14	lttri2i 9719	. 2
48	46, 47	sylibr 212	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514  cmul 9518  clt 9649  cle 9650  -ucneg 9829  cn 10561  cz 10889

This theorem is referenced by:  dvdsle  14031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890