MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsmul1 Unicode version

Theorem dvdsmul1 13712
Description: An integer divides a multiple of itself. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvdsmul1

Proof of Theorem dvdsmul1
StepHypRef Expression
1 zcn 10789 . . 3
2 zcn 10789 . . 3
3 mulcom 9505 . . 3
41, 2, 3syl2anr 478 . 2
5 zmulcl 10831 . . 3
6 dvds0lem 13701 . . . . 5
76ex 434 . . . 4
873com12 1192 . . 3
95, 8mpd3an3 1316 . 2
104, 9mpd 15 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 965  =wceq 1370  e.wcel 1758   class class class wbr 4409  (class class class)co 6222   cc 9417   cmul 9424   cz 10784   cdivides 13693
This theorem is referenced by:  dvdsmultr1  13725  ndvdsi  13772  bits0e  13783  bits0o  13784  mulgcd  13888  dvdsmulgcd  13896  nprm  13935  qredeq  13950  exprmfct  13954  phimullem  14012  prmdiv  14018  opoe  14036  omoe  14037  iserodd  14060  expnprm  14122  pockthlem  14124  prmreclem3  14137  4sqlem14  14177  odmulg2  16217  odbezout  16220  gexdvds  16244  sylow2alem2  16278  odadd1  16491  odadd2  16492  gexexlem  16495  prmirredlem  18110  prmirredlemOLD  18113  znunit  18189  wilthlem2  22807  dvdsflf1o  22927  dvdsmulf1o  22934  ppiublem1  22941  ppiublem2  22942  perfectlem1  22968  bposlem3  23025  lgsdir  23069  lgsquadlem1  23093  lgsquad2lem1  23097  lgsquad2lem2  23098  2sqlem4  23106  2sqblem  23116  dchrisumlem1  23138  jm2.23  29805  jm2.27c  29816  fouriersw  30761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-om 6610  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-er 7235  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-ltxr 9560  df-sub 9734  df-neg 9735  df-nn 10461  df-n0 10718  df-z 10785  df-dvds 13694
  Copyright terms: Public domain W3C validator