Theorem dvdsmulgcd 14192

Description: A divisibility equivalent for odmulg 16578. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsmulgcd

Proof of Theorem dvdsmulgcd

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 755	. . . 4
2		dvdszrcl 13991	. . . . . 6
3	2	adantl 466	. . . . 5
4	3	simpld 459	. . . 4
5		bezout 14180	. . . 4
6	1, 4, 5	syl2anc 661	. . 3
7	4	adantr 465	. . . . . . 7
8		simplll 759	. . . . . . . 8
9		simpllr 760	. . . . . . . . 9
10		simprl 756	. . . . . . . . 9
11	9, 10	zmulcld 11000	. . . . . . . 8
12	8, 11	zmulcld 11000	. . . . . . 7
13		simprr 757	. . . . . . . . 9
14	7, 13	zmulcld 11000	. . . . . . . 8
15	8, 14	zmulcld 11000	. . . . . . 7
16		simplr 755	. . . . . . . . 9
17	8, 9	zmulcld 11000	. . . . . . . . . 10
18		dvdsmultr1 14019	. . . . . . . . . 10
19	7, 17, 10, 18	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9
20	16, 19	mpd 15	. . . . . . . 8
21	8	zcnd 10995	. . . . . . . . 9
22	9	zcnd 10995	. . . . . . . . 9
23	10	zcnd 10995	. . . . . . . . 9
24	21, 22, 23	mulassd 9640	. . . . . . . 8
25	20, 24	breqtrd 4476	. . . . . . 7
26	8, 13	zmulcld 11000	. . . . . . . . 9
27		dvdsmul1 14005	. . . . . . . . 9
28	7, 26, 27	syl2anc 661	. . . . . . . 8
29	7	zcnd 10995	. . . . . . . . 9
30	13	zcnd 10995	. . . . . . . . 9
31	21, 29, 30	mul12d 9810	. . . . . . . 8
32	28, 31	breqtrrd 4478	. . . . . . 7
33		dvds2add 14015	. . . . . . . 8
34	33	imp 429	. . . . . . 7
35	7, 12, 15, 25, 32, 34	syl32anc 1236	. . . . . 6
36	11	zcnd 10995	. . . . . . 7
37	14	zcnd 10995	. . . . . . 7
38	21, 36, 37	adddid 9641	. . . . . 6
39	35, 38	breqtrrd 4478	. . . . 5
40		oveq2 6304	. . . . . 6
41	40	breq2d 4464	. . . . 5
42	39, 41	syl5ibrcom 222	. . . 4
43	42	rexlimdvva 2956	. . 3
44	6, 43	mpd 15	. 2
45		dvdszrcl 13991	. . . . 5
46	45	adantl 466	. . . 4
47	46	simpld 459	. . 3
48	46	simprd 463	. . 3
49		zmulcl 10937	. . . 4
50	49	adantr 465	. . 3
51		simpr 461	. . 3
52		simplr 755	. . . . . 6
53		gcddvds 14153	. . . . . 6
54	52, 47, 53	syl2anc 661	. . . . 5
55	54	simpld 459	. . . 4
56	52, 47	gcdcld 14156	. . . . . 6
57	56	nn0zd 10992	. . . . 5
58		simpll 753	. . . . 5
59		dvdscmul 14010	. . . . 5
60	57, 52, 58, 59	syl3anc 1228	. . . 4
61	55, 60	mpd 15	. . 3
62		dvdstr 14018	. . . 4
63	62	imp 429	. . 3
64	47, 48, 50, 51, 61, 63	syl32anc 1236	. 2
65	44, 64	impbida 832	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  caddc 9516  cmul 9518  cz 10889  cdvds 13986  cgcd 14144

This theorem is referenced by:  odmulg  16578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145