MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsnegb Unicode version

Theorem dvdsnegb 14001
Description: An integer divides another iff it divides its negation. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvdsnegb

Proof of Theorem dvdsnegb
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3
2 znegcl 10924 . . . 4
32anim2i 569 . . 3
4 znegcl 10924 . . . 4
54adantl 466 . . 3
6 zcn 10894 . . . . 5
7 zcn 10894 . . . . 5
8 mulneg1 10018 . . . . . 6
9 negeq 9835 . . . . . . 7
109eqeq2d 2471 . . . . . 6
118, 10syl5ibcom 220 . . . . 5
126, 7, 11syl2anr 478 . . . 4
1312adantlr 714 . . 3
141, 3, 5, 13dvds1lem 13995 . 2
15 zcn 10894 . . . . . 6
16 negeq 9835 . . . . . . . . . 10
17 negneg 9892 . . . . . . . . . 10
1816, 17sylan9eqr 2520 . . . . . . . . 9
198, 18sylan9eq 2518 . . . . . . . 8
2019expr 615 . . . . . . 7
21203impa 1191 . . . . . 6
226, 7, 15, 21syl3an 1270 . . . . 5
23223coml 1203 . . . 4
24233expa 1196 . . 3
253, 1, 5, 24dvds1lem 13995 . 2
2614, 25impbid 191 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cc 9511   cmul 9518  -ucneg 9829   cz 10889   cdvds 13986
This theorem is referenced by:  dvdsabsb  14003  dvdssub  14026  dvdsadd2b  14028  3dvds  14050  bitsfzo  14085  bitscmp  14088  gcdneg  14164  prmdiv  14315  pcneg  14397  znunit  18602  2sqblem  23652  congsym  30906  etransclem9  32026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-z 10890  df-dvds 13987
  Copyright terms: Public domain W3C validator