MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdssq Unicode version

Theorem dvdssq 14198
Description: Two numbers are divisible iff their squares are. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdssq

Proof of Theorem dvdssq
StepHypRef Expression
1 breq1 4455 . . 3
2 sq0i 12260 . . . 4
32breq1d 4462 . . 3
41, 3bibi12d 321 . 2
5 nnabscl 13158 . . . . 5
6 breq2 4456 . . . . . . 7
7 sq0i 12260 . . . . . . . 8
87breq2d 4464 . . . . . . 7
96, 8bibi12d 321 . . . . . 6
10 nnabscl 13158 . . . . . . . . 9
11 dvdssqlem 14197 . . . . . . . . 9
1210, 11sylan2 474 . . . . . . . 8
13 nnz 10911 . . . . . . . . 9
14 simpl 457 . . . . . . . . 9
15 dvdsabsb 14003 . . . . . . . . 9
1613, 14, 15syl2an 477 . . . . . . . 8
17 nnsqcl 12237 . . . . . . . . . . 11
1817nnzd 10993 . . . . . . . . . 10
19 zsqcl 12238 . . . . . . . . . . 11
2019adantr 465 . . . . . . . . . 10
21 dvdsabsb 14003 . . . . . . . . . 10
2218, 20, 21syl2an 477 . . . . . . . . 9
23 zcn 10894 . . . . . . . . . . . . 13
2423adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
25 abssq 13139 . . . . . . . . . . . 12
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . 11
2726breq2d 4464 . . . . . . . . . 10
2827adantl 466 . . . . . . . . 9
2922, 28bitr4d 256 . . . . . . . 8
3012, 16, 293bitr4d 285 . . . . . . 7
3130anassrs 648 . . . . . 6
32 dvds0 13999 . . . . . . . . 9
33 zsqcl 12238 . . . . . . . . . 10
34 dvds0 13999 . . . . . . . . . 10
3533, 34syl 16 . . . . . . . . 9
3632, 352thd 240 . . . . . . . 8
3713, 36syl 16 . . . . . . 7
3837adantr 465 . . . . . 6
399, 31, 38pm2.61ne 2772 . . . . 5
405, 39sylan 471 . . . 4
41 absdvdsb 14002 . . . . 5
4241adantlr 714 . . . 4
43 zsqcl 12238 . . . . . . 7
4443adantr 465 . . . . . 6
45 absdvdsb 14002 . . . . . 6
4644, 19, 45syl2an 477 . . . . 5
47 zcn 10894 . . . . . . . . . 10
48 abssq 13139 . . . . . . . . . 10
4947, 48syl 16 . . . . . . . . 9
5049eqcomd 2465 . . . . . . . 8
5150adantr 465 . . . . . . 7
5251breq1d 4462 . . . . . 6
5352adantr 465 . . . . 5
5446, 53bitrd 253 . . . 4
5540, 42, 543bitr4d 285 . . 3
5655an32s 804 . 2
57 0dvds 14004 . . . . 5
58 sqeq0 12232 . . . . . 6
5923, 58syl 16 . . . . 5
6057, 59bitr4d 256 . . . 4
61 0dvds 14004 . . . . 5
6219, 61syl 16 . . . 4
6360, 62bitr4d 256 . . 3
6463adantl 466 . 2
654, 56, 64pm2.61ne 2772 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513   cn 10561  2c2 10610   cz 10889   cexp 12166   cabs 13067   cdvds 13986
This theorem is referenced by:  pythagtriplem19  14357  4sqlem9  14464  4sqlem10  14465  lgsdir  23605  2sqlem8a  23646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145
  Copyright terms: Public domain W3C validator