Theorem dvdstr 14018

Description: The divides relation is transitive. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvdstr

Proof of Theorem dvdstr

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 993	. 2
2		3simpc 995	. 2
3		3simpb 994	. 2
4		zmulcl 10937	. . 3
5	4	adantl 466	. 2
6		oveq2 6304	. . . . 5
7	6	adantr 465	. . . 4
8		eqeq2 2472	. . . . 5
9	8	adantl 466	. . . 4
10	7, 9	mpbid 210	. . 3
11		zcn 10894	. . . . . . . 8
12		zcn 10894	. . . . . . . 8
13		zcn 10894	. . . . . . . 8
14		mulass 9601	. . . . . . . . 9
15		mul12 9767	. . . . . . . . 9
16	14, 15	eqtrd 2498	. . . . . . . 8
17	11, 12, 13, 16	syl3an 1270	. . . . . . 7
18	17	3comr 1204	. . . . . 6
19	18	3expb 1197	. . . . 5
20	19	3ad2antl1 1158	. . . 4
21	20	eqeq1d 2459	. . 3
22	10, 21	syl5ibr 221	. 2
23	1, 2, 3, 5, 22	dvds2lem 13996	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  cc 9511  cmul 9518  cz 10889  cdvds 13986

This theorem is referenced by:  dvdsmultr1  14019  dvdsmultr2  14021  bitsmod  14086  dvdsgcdb  14182  dvdsmulgcd  14192  mulgcddvds  14245  rpmulgcd2  14246  exprmfct  14251  isprm5  14253  rpexp  14261  rpdvds  14265  phimullem  14309  pcpremul  14367  pcdvdsb  14392  pcdvdstr  14399  pcprmpw2  14405  pockthlem  14423  prmreclem3  14436  4sqlem8  14463  odmulg  16578  ablfac1b  17121  ablfac1eu  17124  znunit  18602  wilth  23345  muval1  23407  dvdssqf  23412  sqff1o  23456  fsumdvdsdiaglem  23459  dvdsmulf1o  23470  vmasum  23491  bposlem3  23561  lgsmod  23596  lgsquad2lem1  23633  2sqlem3  23641  2sqlem8  23647  dvdspw  29175  dvdsacongtr  30922  jm2.20nn  30939  jm2.27a  30947  jm2.27c  30949  gcddvdslcm  31208  lcmgcdeq  31216  lcmdvdsb  31217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-ltxr 9654  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-dvds 13987