MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsval2 Unicode version

Theorem dvdsval2 13989
Description: One nonzero integer divides another integer if and only if their quotient is an integer. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
dvdsval2

Proof of Theorem dvdsval2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divides 13988 . . 3
213adant2 1015 . 2
3 zcn 10894 . . . . . . . . . . 11
433ad2ant3 1019 . . . . . . . . . 10
54adantr 465 . . . . . . . . 9
6 zcn 10894 . . . . . . . . . 10
76adantl 466 . . . . . . . . 9
8 zcn 10894 . . . . . . . . . . 11
983ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10
109adantr 465 . . . . . . . . 9
11 simpl2 1000 . . . . . . . . 9
125, 7, 10, 11divmul3d 10379 . . . . . . . 8
13 eqcom 2466 . . . . . . . 8
1412, 13syl6bb 261 . . . . . . 7
1514biimprd 223 . . . . . 6
1615impr 619 . . . . 5
17 simprl 756 . . . . 5
1816, 17eqeltrd 2545 . . . 4
1918rexlimdvaa 2950 . . 3
20 simpr 461 . . . . 5
21 simp2 997 . . . . . . 7
224, 9, 21divcan1d 10346 . . . . . 6
2322adantr 465 . . . . 5
24 oveq1 6303 . . . . . . 7
2524eqeq1d 2459 . . . . . 6
2625rspcev 3210 . . . . 5
2720, 23, 26syl2anc 661 . . . 4
2827ex 434 . . 3
2919, 28impbid 191 . 2
302, 29bitrd 253 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513   cmul 9518   cdiv 10231   cz 10889   cdvds 13986
This theorem is referenced by:  dvdsval3  13990  nndivdvds  13992  fsumdvds  14029  3dvds  14050  bitsmod  14086  sadaddlem  14116  bitsuz  14124  mulgcd  14184  sqgcd  14196  prmind2  14228  mulgcddvds  14245  qredeu  14248  isprm5  14253  divgcdodd  14260  divnumden  14281  hashdvds  14305  oddprm  14339  pythagtriplem11  14349  pythagtriplem13  14351  pythagtriplem19  14357  pcprendvds2  14365  pcpremul  14367  pc2dvds  14402  pcz  14404  pcadd  14408  pcmptdvds  14413  fldivp1  14416  pockthlem  14423  prmreclem1  14434  prmreclem3  14436  4sqlem8  14463  4sqlem9  14464  4sqlem12  14474  4sqlem14  14476  sylow1lem1  16618  sylow3lem4  16650  odadd1  16854  odadd2  16855  pgpfac1lem3  17128  prmirredlem  18523  prmirredlemOLD  18526  znidomb  18600  root1eq1  23129  atantayl2  23269  efchtdvds  23433  dvdsdivcl  23457  muinv  23469  chtub  23487  bposlem6  23564  lgseisenlem1  23624  lgsquad2lem1  23633  lgsquad3  23636  m1lgs  23637  2sqlem3  23641  2sqlem8  23647  qqhval2lem  27962  nn0prpwlem  30140  congrep  30911  jm2.22  30937  jm2.23  30938  hashgcdlem  31157  proot1ex  31161  lcmgcdlem  31212  nzss  31222  etransclem9  32026  etransclem38  32055  etransclem44  32061  etransclem45  32062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-z 10890  df-dvds 13987
  Copyright terms: Public domain W3C validator