Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumle Unicode version

Theorem dvfsumle 21893
 Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsumle.m
dvfsumle.a
dvfsumle.v
dvfsumle.b
dvfsumle.c
dvfsumle.d
dvfsumle.x
dvfsumle.l
Assertion
Ref Expression
dvfsumle
Distinct variable groups:   ,   ,,M   ,N,   ,,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem dvfsumle
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 11941 . . . 4
21a1i 11 . . 3
3 dvfsumle.x . . 3
4 dvfsumle.m . . . . . . . . . . 11
5 eluzel2 11005 . . . . . . . . . . 11
64, 5syl 16 . . . . . . . . . 10
7 eluzelz 11009 . . . . . . . . . . 11
84, 7syl 16 . . . . . . . . . 10
9 fzval2 11585 . . . . . . . . . 10
106, 8, 9syl2anc 661 . . . . . . . . 9
11 inss1 3684 . . . . . . . . 9
1210, 11syl6eqss 3520 . . . . . . . 8
1312sselda 3470 . . . . . . 7
14 dvfsumle.a . . . . . . . . . 10
15 cncff 20868 . . . . . . . . . 10
1614, 15syl 16 . . . . . . . . 9
17 eqid 2454 . . . . . . . . . 10
1817fmpt 5987 . . . . . . . . 9
1916, 18sylibr 212 . . . . . . . 8
20 nfcsb1v 3417 . . . . . . . . . 10
2120nfel1 2632 . . . . . . . . 9
22 csbeq1a 3410 . . . . . . . . . 10
2322eleq1d 2523 . . . . . . . . 9
2421, 23rspc 3176 . . . . . . . 8
2519, 24mpan9 469 . . . . . . 7
2613, 25syldan 470 . . . . . 6
2726ralrimiva 2831 . . . . 5
28 fzofzp1 11769 . . . . 5
29 csbeq1 3404 . . . . . . 7
3029eleq1d 2523 . . . . . 6
3130rspccva 3181 . . . . 5
3227, 28, 31syl2an 477 . . . 4
33 elfzofz 11712 . . . . 5
34 csbeq1 3404 . . . . . . 7
3534eleq1d 2523 . . . . . 6
3635rspccva 3181 . . . . 5
3727, 33, 36syl2an 477 . . . 4
3832, 37resubcld 9913 . . 3
39 elfzoelz 11698 . . . . . . . . . 10
4039adantl 466 . . . . . . . . 9
4140zred 10885 . . . . . . . 8
4241recnd 9549 . . . . . . 7
43 ax-1cn 9477 . . . . . . 7
44 pncan2 9754 . . . . . . 7
4542, 43, 44sylancl 662 . . . . . 6
4645oveq2d 6238 . . . . 5
473recnd 9549 . . . . . 6
48 peano2re 9679 . . . . . . . 8
4941, 48syl 16 . . . . . . 7
5049recnd 9549 . . . . . 6
5147, 50, 42subdid 9937 . . . . 5
5247mulid1d 9540 . . . . 5
5346, 51, 523eqtr3d 2503 . . . 4
54 eqid 2454 . . . . . 6
5554mulcn 20842 . . . . . 6
566zred 10885 . . . . . . . . . . 11
5756adantr 465 . . . . . . . . . 10
588zred 10885 . . . . . . . . . . 11
5958adantr 465 . . . . . . . . . 10
60 elfzole1 11705 . . . . . . . . . . 11
6160adantl 466 . . . . . . . . . 10
6228adantl 466 . . . . . . . . . . 11
63 elfzle2 11600 . . . . . . . . . . 11
6462, 63syl 16 . . . . . . . . . 10
65 iccss 11502 . . . . . . . . . 10
6657, 59, 61, 64, 65syl22anc 1220 . . . . . . . . 9
67 iccssre 11516 . . . . . . . . . . 11
6856, 58, 67syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
6968adantr 465 . . . . . . . . 9
7066, 69sstrd 3480 . . . . . . . 8
71 ax-resscn 9476 . . . . . . . 8
7270, 71syl6ss 3482 . . . . . . 7
7371a1i 11 . . . . . . 7
74 cncfmptc 20886 . . . . . . 7
753, 72, 73, 74syl3anc 1219 . . . . . 6
76 cncfmptid 20887 . . . . . . 7
7770, 71, 76sylancl 662 . . . . . 6
78 remulcl 9504 . . . . . 6
7954, 55, 75, 77, 71, 78cncfmpt2ss 20890 . . . . 5
80 reelprrecn 9511 . . . . . . . 8
8180a1i 11 . . . . . . 7
8257rexrd 9570 . . . . . . . . . . 11
83 iooss1 11474 . . . . . . . . . . 11
8482, 61, 83syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
8559rexrd 9570 . . . . . . . . . . 11
86 iooss2 11475 . . . . . . . . . . 11
8785, 64, 86syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
8884, 87sstrd 3480 . . . . . . . . 9
89 ioossicc 11520 . . . . . . . . . 10
9069, 71syl6ss 3482 . . . . . . . . . 10
9189, 90syl5ss 3481 . . . . . . . . 9
9288, 91sstrd 3480 . . . . . . . 8
9392sselda 3470 . . . . . . 7
94 1cnd 9539 . . . . . . 7
9573sselda 3470 . . . . . . . 8
96 1cnd 9539 . . . . . . . 8
9781dvmptid 21831 . . . . . . . 8
98 ioossre 11496 . . . . . . . . 9
9998a1i 11 . . . . . . . 8
10054tgioo2 20779 . . . . . . . 8
101 iooretop 20744 . . . . . . . . 9
102101a1i 11 . . . . . . . 8
10381, 95, 96, 97, 99, 100, 54, 102dvmptres 21837 . . . . . . 7
10481, 93, 94, 103, 47dvmptcmul 21838 . . . . . 6
10552mpteq2dv 4496 . . . . . 6
106104, 105eqtrd 2495 . . . . 5
107 nfcv 2616 . . . . . . 7
108107, 20, 22cbvmpt 4499 . . . . . 6
109 resmpt 5274 . . . . . . . 8
11066, 109syl 16 . . . . . . 7
11114adantr 465 . . . . . . . 8
112 rescncf 20872 . . . . . . . 8
11366, 111, 112sylc 60 . . . . . . 7
114110, 113eqeltrrd 2543 . . . . . 6
115108, 114syl5eqelr 2547 . . . . 5
11616adantr 465 . . . . . . . . 9
117116, 18sylibr 212 . . . . . . . 8
11889sseli 3466 . . . . . . . 8
11924impcom 430 . . . . . . . 8
120117, 118, 119syl2an 477 . . . . . . 7
121120recnd 9549 . . . . . 6
12289sseli 3466 . . . . . . . . . . . 12
12319r19.21bi 2922 . . . . . . . . . . . . 13
124123adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12
125122, 124sylan2 474 . . . . . . . . . . 11
126 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11
127125, 126fmptd 5990 . . . . . . . . . 10
128 ioossre 11496 . . . . . . . . . 10
129 dvfre 21825 . . . . . . . . . 10
130127, 128, 129sylancl 662 . . . . . . . . 9
131 dvfsumle.b . . . . . . . . . . 11
132131adantr 465 . . . . . . . . . 10
133132dmeqd 5159 . . . . . . . . . . 11
134 dvfsumle.v . . . . . . . . . . . . . 14
135134adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13
136135ralrimiva 2831 . . . . . . . . . . . 12
137 dmmptg 5454 . . . . . . . . . . . 12
138136, 137syl 16 . . . . . . . . . . 11
139133, 138eqtrd 2495 . . . . . . . . . 10
140132, 139feq12d 5668 . . . . . . . . 9
141130, 140mpbid 210 . . . . . . . 8
142 eqid 2454 . . . . . . . . 9
143142fmpt 5987 . . . . . . . 8
144141, 143sylibr 212 . . . . . . 7
145 nfcsb1v 3417 . . . . . . . . 9
146145nfel1 2632 . . . . . . . 8
147 csbeq1a 3410 . . . . . . . . 9
148147eleq1d 2523 . . . . . . . 8
149146, 148rspc 3176 . . . . . . 7
150144, 149mpan9 469 . . . . . 6
151107, 20, 22cbvmpt 4499 . . . . . . . 8
152151oveq2i 6233 . . . . . . 7
153 nfcv 2616 . . . . . . . 8
154153, 145, 147cbvmpt 4499 . . . . . . 7
155132, 152, 1543eqtr3g 2518 . . . . . 6
15681, 121, 150, 155, 88, 100, 54, 102dvmptres 21837 . . . . 5
157 dvfsumle.l . . . . . . . 8
158157anassrs 648 . . . . . . 7
159158ralrimiva 2831 . . . . . 6
160 nfcv 2616 . . . . . . . 8
161 nfcv 2616 . . . . . . . 8
162160, 161, 145nfbr 4453 . . . . . . 7
163147breq2d 4421 . . . . . . 7
164162, 163rspc 3176 . . . . . 6
165159, 164mpan9 469 . . . . 5
16641rexrd 9570 . . . . . 6
16749rexrd 9570 . . . . . 6
16841lep1d 10401 . . . . . 6
169 lbicc2 11546 . . . . . 6
170166, 167, 168, 169syl3anc 1219 . . . . 5
171 ubicc2 11547 . . . . . 6
172166, 167, 168, 171syl3anc 1219 . . . . 5
173 oveq2 6230 . . . . 5
174 oveq2 6230 . . . . 5
17541, 49, 79, 106, 115, 156, 165, 170, 172, 168, 173, 34, 174, 29dvle 21879 . . . 4
17653, 175eqbrtrrd 4431 . . 3
1772, 3, 38, 176fsumle 13420 . 2
178 vex 3084 . . . . 5
179178a1i 11 . . . 4
180 eqeq2 2469 . . . . . 6
181180biimpa 484 . . . . 5
182 dvfsumle.c . . . . 5
183181, 182syl 16 . . . 4
184179, 183csbied 3428 . . 3
185178a1i 11 . . . 4
186 eqeq2 2469 . . . . . 6
187186biimpa 484 . . . . 5
188 dvfsumle.d . . . . 5
189187, 188syl 16 . . . 4
190185, 189csbied 3428 . . 3
19126recnd 9549 . . 3
19234, 29, 184, 190, 4, 191fsumtscopo2 13424 . 2
193177, 192breqtrd 4433 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1758  A.wral 2800   cvv 3081  [_csb 3401  i^icin 3441  C_wss 3442  {cpr 3995   class class class wbr 4409  e.cmpt 4467  domcdm 4957  rancrn 4958  |cres 4959  -->wf 5533  cfv 5537  (class class class)co 6222   cfn 7444   cc 9417   cr 9418  1c1 9420   caddc 9422   cmul 9424   cxr 9554   cle 9556   cmin 9732   cz 10784   cuz 11000   cioo 11439   cicc 11442   cfz 11582   cfzo 11693  sum_csu 13321   ctopn 14519   ctg 14535   ccnfld 18011   ccncf 20851   cdv 21738 This theorem is referenced by:  dvfsumge  21894 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-inf2 7984  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496  ax-pre-sup 9497  ax-addf 9498  ax-mulf 9499 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-int 4246  df-iun 4290  df-iin 4291  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-of 6453  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-supp 6825  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-1o 7054  df-2o 7055  df-oadd 7058  df-er 7235  df-map 7350  df-pm 7351  df-ixp 7398  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-fin 7448  df-fsupp 7756  df-fi 7797  df-sup 7827  df-oi 7861  df-card 8246  df-cda 8474  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-div 10131  df-nn 10461  df-2 10518  df-3 10519  df-4 10520  df-5 10521  df-6 10522  df-7 10523  df-8 10524  df-9 10525  df-10 10526  df-n0 10718  df-z 10785  df-dec 10895  df-uz 11001  df-q 11093  df-rp 11131  df-xneg 11228  df-xadd 11229  df-xmul 11230  df-ioo 11443  df-ico 11445  df-icc 11446  df-fz 11583  df-fzo 11694  df-seq 11964  df-exp 12023  df-hash 12261  df-cj 12746  df-re 12747  df-im 12748  df-sqr 12882  df-abs 12883  df-clim 13124  df-sum 13322  df-struct 14334  df-ndx 14335  df-slot 14336  df-base 14337  df-sets 14338  df-ress 14339  df-plusg 14410  df-mulr 14411  df-starv 14412  df-sca 14413  df-vsca 14414  df-ip 14415  df-tset 14416  df-ple 14417  df-ds 14419  df-unif 14420  df-hom 14421  df-cco 14422  df-rest 14520  df-topn 14521  df-0g 14539  df-gsum 14540  df-topgen 14541  df-pt 14542  df-prds 14545  df-xrs 14599  df-qtop 14604  df-imas 14605  df-xps 14607  df-mre 14683  df-mrc 14684  df-acs 14686  df-mnd 15574  df-submnd 15624  df-mulg 15707  df-cntz 15994  df-cmn 16440  df-psmet 18002  df-xmet 18003  df-met 18004  df-bl 18005  df-mopn 18006  df-fbas 18007  df-fg 18008  df-cnfld 18012  df-top 18902  df-bases 18904  df-topon 18905  df-topsp 18906  df-cld 19022  df-ntr 19023  df-cls 19024  df-nei 19101  df-lp 19139  df-perf 19140  df-cn 19230  df-cnp 19231  df-haus 19318  df-cmp 19389  df-tx 19534  df-hmeo 19727  df-fil 19818  df-fm 19910  df-flim 19911  df-flf 19912  df-xms 20294  df-ms 20295  df-tms 20296  df-cncf 20853  df-limc 21741  df-dv 21742
 Copyright terms: Public domain W3C validator