MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumle Unicode version

Theorem dvfsumle 21193
Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsumle.m
dvfsumle.a
dvfsumle.v
dvfsumle.b
dvfsumle.c
dvfsumle.d
dvfsumle.x
dvfsumle.l
Assertion
Ref Expression
dvfsumle
Distinct variable groups:   ,   , ,M   ,N,   , ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem dvfsumle
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 11737 . . . 4
21a1i 11 . . 3
3 dvfsumle.x . . 3
4 dvfsumle.m . . . . . . . . . . 11
5 eluzel2 10811 . . . . . . . . . . 11
64, 5syl 16 . . . . . . . . . 10
7 eluzelz 10815 . . . . . . . . . . 11
84, 7syl 16 . . . . . . . . . 10
9 fzval2 11384 . . . . . . . . . 10
106, 8, 9syl2anc 646 . . . . . . . . 9
11 inss1 3547 . . . . . . . . 9
1210, 11syl6eqss 3383 . . . . . . . 8
1312sselda 3333 . . . . . . 7
14 dvfsumle.a . . . . . . . . . 10
15 cncff 20169 . . . . . . . . . 10
1614, 15syl 16 . . . . . . . . 9
17 eqid 2422 . . . . . . . . . 10
1817fmpt 5834 . . . . . . . . 9
1916, 18sylibr 206 . . . . . . . 8
20 nfcsb1v 3281 . . . . . . . . . 10
2120nfel1 2568 . . . . . . . . 9
22 csbeq1a 3274 . . . . . . . . . 10
2322eleq1d 2488 . . . . . . . . 9
2421, 23rspc 3045 . . . . . . . 8
2519, 24mpan9 459 . . . . . . 7
2613, 25syldan 460 . . . . . 6
2726ralrimiva 2778 . . . . 5
28 fzofzp1 11565 . . . . 5
29 csbeq1 3268 . . . . . . 7
3029eleq1d 2488 . . . . . 6
3130rspccva 3050 . . . . 5
3227, 28, 31syl2an 467 . . . 4
33 elfzofz 11508 . . . . 5
34 csbeq1 3268 . . . . . . 7
3534eleq1d 2488 . . . . . 6
3635rspccva 3050 . . . . 5
3727, 33, 36syl2an 467 . . . 4
3832, 37resubcld 9722 . . 3
39 elfzoelz 11494 . . . . . . . . . 10
4039adantl 456 . . . . . . . . 9
4140zred 10692 . . . . . . . 8
4241recnd 9358 . . . . . . 7
43 ax-1cn 9286 . . . . . . 7
44 pncan2 9563 . . . . . . 7
4542, 43, 44sylancl 647 . . . . . 6
4645oveq2d 6077 . . . . 5
473recnd 9358 . . . . . 6
48 peano2re 9488 . . . . . . . 8
4941, 48syl 16 . . . . . . 7
5049recnd 9358 . . . . . 6
5147, 50, 42subdid 9746 . . . . 5
5247mulid1d 9349 . . . . 5
5346, 51, 523eqtr3d 2462 . . . 4
54 eqid 2422 . . . . . 6
5554mulcn 20143 . . . . . 6
566zred 10692 . . . . . . . . . . 11
5756adantr 455 . . . . . . . . . 10
588zred 10692 . . . . . . . . . . 11
5958adantr 455 . . . . . . . . . 10
60 elfzole1 11501 . . . . . . . . . . 11
6160adantl 456 . . . . . . . . . 10
6228adantl 456 . . . . . . . . . . 11
63 elfzle2 11399 . . . . . . . . . . 11
6462, 63syl 16 . . . . . . . . . 10
65 iccss 11308 . . . . . . . . . 10
6657, 59, 61, 64, 65syl22anc 1204 . . . . . . . . 9
67 iccssre 11322 . . . . . . . . . . 11
6856, 58, 67syl2anc 646 . . . . . . . . . 10
6968adantr 455 . . . . . . . . 9
7066, 69sstrd 3343 . . . . . . . 8
71 ax-resscn 9285 . . . . . . . 8
7270, 71syl6ss 3345 . . . . . . 7
7371a1i 11 . . . . . . 7
74 cncfmptc 20187 . . . . . . 7
753, 72, 73, 74syl3anc 1203 . . . . . 6
76 cncfmptid 20188 . . . . . . 7
7770, 71, 76sylancl 647 . . . . . 6
78 remulcl 9313 . . . . . 6
7954, 55, 75, 77, 71, 78cncfmpt2ss 20191 . . . . 5
80 reelprrecn 9320 . . . . . . . 8
8180a1i 11 . . . . . . 7
8257rexrd 9379 . . . . . . . . . . 11
83 iooss1 11280 . . . . . . . . . . 11
8482, 61, 83syl2anc 646 . . . . . . . . . 10
8559rexrd 9379 . . . . . . . . . . 11
86 iooss2 11281 . . . . . . . . . . 11
8785, 64, 86syl2anc 646 . . . . . . . . . 10
8884, 87sstrd 3343 . . . . . . . . 9
89 ioossicc 11326 . . . . . . . . . 10
9069, 71syl6ss 3345 . . . . . . . . . 10
9189, 90syl5ss 3344 . . . . . . . . 9
9288, 91sstrd 3343 . . . . . . . 8
9392sselda 3333 . . . . . . 7
94 1cnd 9348 . . . . . . 7
9573sselda 3333 . . . . . . . 8
96 1cnd 9348 . . . . . . . 8
9781dvmptid 21131 . . . . . . . 8
98 ioossre 11302 . . . . . . . . 9
9998a1i 11 . . . . . . . 8
10054tgioo2 20080 . . . . . . . 8
101 iooretop 20045 . . . . . . . . 9
102101a1i 11 . . . . . . . 8
10381, 95, 96, 97, 99, 100, 54, 102dvmptres 21137 . . . . . . 7
10481, 93, 94, 103, 47dvmptcmul 21138 . . . . . 6
10552mpteq2dv 4354 . . . . . 6
106104, 105eqtrd 2454 . . . . 5
107 nfcv 2558 . . . . . . 7
108107, 20, 22cbvmpt 4357 . . . . . 6
109 resmpt 5128 . . . . . . . 8
11066, 109syl 16 . . . . . . 7
11114adantr 455 . . . . . . . 8
112 rescncf 20173 . . . . . . . 8
11366, 111, 112sylc 59 . . . . . . 7
114110, 113eqeltrrd 2497 . . . . . 6
115108, 114syl5eqelr 2507 . . . . 5
11616adantr 455 . . . . . . . . 9
117116, 18sylibr 206 . . . . . . . 8
11889sseli 3329 . . . . . . . 8
11924impcom 423 . . . . . . . 8
120117, 118, 119syl2an 467 . . . . . . 7
121120recnd 9358 . . . . . 6
12289sseli 3329 . . . . . . . . . . . 12
12319r19.21bi 2793 . . . . . . . . . . . . 13
124123adantlr 699 . . . . . . . . . . . 12
125122, 124sylan2 464 . . . . . . . . . . 11
126 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11
127125, 126fmptd 5837 . . . . . . . . . 10
128 ioossre 11302 . . . . . . . . . 10
129 dvfre 21125 . . . . . . . . . 10
130127, 128, 129sylancl 647 . . . . . . . . 9
131 dvfsumle.b . . . . . . . . . . 11
132131adantr 455 . . . . . . . . . 10
133132dmeqd 5013 . . . . . . . . . . 11
134 dvfsumle.v . . . . . . . . . . . . . 14
135134adantlr 699 . . . . . . . . . . . . 13
136135ralrimiva 2778 . . . . . . . . . . . 12
137 dmmptg 5307 . . . . . . . . . . . 12
138136, 137syl 16 . . . . . . . . . . 11
139133, 138eqtrd 2454 . . . . . . . . . 10
140132, 139feq12d 5518 . . . . . . . . 9
141130, 140mpbid 204 . . . . . . . 8
142 eqid 2422 . . . . . . . . 9
143142fmpt 5834 . . . . . . . 8
144141, 143sylibr 206 . . . . . . 7
145 nfcsb1v 3281 . . . . . . . . 9
146145nfel1 2568 . . . . . . . 8
147 csbeq1a 3274 . . . . . . . . 9
148147eleq1d 2488 . . . . . . . 8
149146, 148rspc 3045 . . . . . . 7
150144, 149mpan9 459 . . . . . 6
151107, 20, 22cbvmpt 4357 . . . . . . . 8
152151oveq2i 6072 . . . . . . 7
153 nfcv 2558 . . . . . . . 8
154153, 145, 147cbvmpt 4357 . . . . . . 7
155132, 152, 1543eqtr3g 2477 . . . . . 6
15681, 121, 150, 155, 88, 100, 54, 102dvmptres 21137 . . . . 5
157 dvfsumle.l . . . . . . . 8
158157anassrs 633 . . . . . . 7
159158ralrimiva 2778 . . . . . 6
160 nfcv 2558 . . . . . . . 8
161 nfcv 2558 . . . . . . . 8
162160, 161, 145nfbr 4311 . . . . . . 7
163147breq2d 4279 . . . . . . 7
164162, 163rspc 3045 . . . . . 6
165159, 164mpan9 459 . . . . 5
16641rexrd 9379 . . . . . 6
16749rexrd 9379 . . . . . 6
16841lep1d 10210 . . . . . 6
169 lbicc2 11345 . . . . . 6
170166, 167, 168, 169syl3anc 1203 . . . . 5
171 ubicc2 11346 . . . . . 6
172166, 167, 168, 171syl3anc 1203 . . . . 5
173 oveq2 6069 . . . . 5
174 oveq2 6069 . . . . 5
17541, 49, 79, 106, 115, 156, 165, 170, 172, 168, 173, 34, 174, 29dvle 21179 . . . 4
17653, 175eqbrtrrd 4289 . . 3
1772, 3, 38, 176fsumle 13202 . 2
178 vex 2954 . . . . 5
179178a1i 11 . . . 4
180 eqeq2 2431 . . . . . 6
181180biimpa 474 . . . . 5
182 dvfsumle.c . . . . 5
183181, 182syl 16 . . . 4
184179, 183csbied 3291 . . 3
185178a1i 11 . . . 4
186 eqeq2 2431 . . . . . 6
187186biimpa 474 . . . . 5
188 dvfsumle.d . . . . 5
189187, 188syl 16 . . . 4
190185, 189csbied 3291 . . 3
19126recnd 9358 . . 3
19234, 29, 184, 190, 4, 191fsumtscopo2 13206 . 2
193177, 192breqtrd 4291 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 362  =wceq 1687  e.wcel 1749  A.wral 2694   cvv 2951  [_csb 3265  i^icin 3304  C_wss 3305  {cpr 3854   class class class wbr 4267  e.cmpt 4325  domcdm 4811  rancrn 4812  |`cres 4813  -->wf 5386  `cfv 5390  (class class class)co 6061   cfn 7269   cc 9226   cr 9227  1c1 9229   caddc 9231   cmul 9233   cxr 9363   cle 9365   cmin 9541   cz 10591   cuz 10806   cioo 11245   cicc 11248   cfz 11381   cfzo 11489  sum_csu 13104   ctopn 14300   ctg 14316   ccnfld 17528   ccncf 20152   cdv 21038
This theorem is referenced by:  dvfsumge  21194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-inf2 7794  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305  ax-pre-sup 9306  ax-addf 9307  ax-mulf 9308
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-fal 1356  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-int 4104  df-iun 4148  df-iin 4149  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-se 4651  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-isom 5399  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-of 6290  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-1o 6881  df-2o 6882  df-oadd 6885  df-er 7062  df-map 7177  df-pm 7178  df-ixp 7223  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-fin 7273  df-fi 7608  df-sup 7638  df-oi 7671  df-card 8056  df-cda 8284  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-div 9940  df-nn 10269  df-2 10326  df-3 10327  df-4 10328  df-5 10329  df-6 10330  df-7 10331  df-8 10332  df-9 10333  df-10 10334  df-n0 10526  df-z 10592  df-dec 10701  df-uz 10807  df-q 10899  df-rp 10937  df-xneg 11034  df-xadd 11035  df-xmul 11036  df-ioo 11249  df-ico 11251  df-icc 11252  df-fz 11382  df-fzo 11490  df-seq 11748  df-exp 11807  df-hash 12045  df-cj 12529  df-re 12530  df-im 12531  df-sqr 12665  df-abs 12666  df-clim 12907  df-sum 13105  df-struct 14116  df-ndx 14117  df-slot 14118  df-base 14119  df-sets 14120  df-ress 14121  df-plusg 14191  df-mulr 14192  df-starv 14193  df-sca 14194  df-vsca 14195  df-ip 14196  df-tset 14197  df-ple 14198  df-ds 14200  df-unif 14201  df-hom 14202  df-cco 14203  df-rest 14301  df-topn 14302  df-0g 14320  df-gsum 14321  df-topgen 14322  df-pt 14323  df-prds 14326  df-xrs 14380  df-qtop 14385  df-imas 14386  df-xps 14388  df-mre 14464  df-mrc 14465  df-acs 14467  df-mnd 15355  df-submnd 15405  df-mulg 15485  df-cntz 15772  df-cmn 16216  df-psmet 17519  df-xmet 17520  df-met 17521  df-bl 17522  df-mopn 17523  df-fbas 17524  df-fg 17525  df-cnfld 17529  df-top 18207  df-bases 18209  df-topon 18210  df-topsp 18211  df-cld 18327  df-ntr 18328  df-cls 18329  df-nei 18406  df-lp 18444  df-perf 18445  df-cn 18535  df-cnp 18536  df-haus 18623  df-cmp 18694  df-tx 18839  df-hmeo 19032  df-fil 19123  df-fm 19215  df-flim 19216  df-flf 19217  df-xms 19595  df-ms 19596  df-tms 19597  df-cncf 20154  df-limc 21041  df-dv 21042
  Copyright terms: Public domain W3C validator