MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvntaylp Unicode version

Theorem dvntaylp 22236
Description: The -th derivative of the Taylor polynomial is the Taylor polynomial of the -th derivative of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dvntaylp.s
dvntaylp.f
dvntaylp.a
dvntaylp.m
dvntaylp.n
dvntaylp.b
Assertion
Ref Expression
dvntaylp

Proof of Theorem dvntaylp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvntaylp.m . . . . 5
2 nn0uz 11034 . . . . 5
31, 2syl6eleq 2552 . . . 4
4 eluzfz2b 11605 . . . 4
53, 4sylib 196 . . 3
6 fveq2 5813 . . . . . 6
7 fveq2 5813 . . . . . . . 8
87oveq2d 6238 . . . . . . 7
9 oveq2 6230 . . . . . . . 8
109oveq2d 6238 . . . . . . 7
11 eqidd 2455 . . . . . . 7
128, 10, 11oveq123d 6243 . . . . . 6
136, 12eqeq12d 2476 . . . . 5
1413imbi2d 316 . . . 4
15 fveq2 5813 . . . . . 6
16 fveq2 5813 . . . . . . . 8
1716oveq2d 6238 . . . . . . 7
18 oveq2 6230 . . . . . . . 8
1918oveq2d 6238 . . . . . . 7
20 eqidd 2455 . . . . . . 7
2117, 19, 20oveq123d 6243 . . . . . 6
2215, 21eqeq12d 2476 . . . . 5
2322imbi2d 316 . . . 4
24 fveq2 5813 . . . . . 6
25 fveq2 5813 . . . . . . . 8
2625oveq2d 6238 . . . . . . 7
27 oveq2 6230 . . . . . . . 8
2827oveq2d 6238 . . . . . . 7
29 eqidd 2455 . . . . . . 7
3026, 28, 29oveq123d 6243 . . . . . 6
3124, 30eqeq12d 2476 . . . . 5
3231imbi2d 316 . . . 4
33 fveq2 5813 . . . . . 6
34 fveq2 5813 . . . . . . . 8
3534oveq2d 6238 . . . . . . 7
36 oveq2 6230 . . . . . . . 8
3736oveq2d 6238 . . . . . . 7
38 eqidd 2455 . . . . . . 7
3935, 37, 38oveq123d 6243 . . . . . 6
4033, 39eqeq12d 2476 . . . . 5
4140imbi2d 316 . . . 4
42 ssid 3489 . . . . . . . 8
4342a1i 11 . . . . . . 7
44 mapsspm 7380 . . . . . . . 8
45 dvntaylp.s . . . . . . . . . 10
46 dvntaylp.f . . . . . . . . . 10
47 dvntaylp.a . . . . . . . . . 10
48 dvntaylp.n . . . . . . . . . . 11
4948, 1nn0addcld 10778 . . . . . . . . . 10
50 dvntaylp.b . . . . . . . . . 10
51 eqid 2454 . . . . . . . . . 10
5245, 46, 47, 49, 50, 51taylpf 22231 . . . . . . . . 9
53 cnex 9500 . . . . . . . . . 10
5453, 53elmap 7375 . . . . . . . . 9
5552, 54sylibr 212 . . . . . . . 8
5644, 55sseldi 3468 . . . . . . 7
57 dvn0 21798 . . . . . . 7
5843, 56, 57syl2anc 661 . . . . . 6
59 recnprss 21779 . . . . . . . . . 10
6045, 59syl 16 . . . . . . . . 9
6153a1i 11 . . . . . . . . . 10
62 elpm2r 7364 . . . . . . . . . 10
6361, 45, 46, 47, 62syl22anc 1220 . . . . . . . . 9
64 dvn0 21798 . . . . . . . . 9
6560, 63, 64syl2anc 661 . . . . . . . 8
6665oveq2d 6238 . . . . . . 7
671nn0cnd 10776 . . . . . . . . 9
6867subid1d 9845 . . . . . . . 8
6968oveq2d 6238 . . . . . . 7
70 eqidd 2455 . . . . . . 7
7166, 69, 70oveq123d 6243 . . . . . 6
7258, 71eqtr4d 2498 . . . . 5
7372a1i 11 . . . 4
74 oveq2 6230 . . . . . . 7
7542a1i 11 . . . . . . . . 9
7656adantr 465 . . . . . . . . 9
77 elfzouz 11702 . . . . . . . . . . 11
7877adantl 466 . . . . . . . . . 10
7978, 2syl6eleqr 2553 . . . . . . . . 9
80 dvnp1 21799 . . . . . . . . 9
8175, 76, 79, 80syl3anc 1219 . . . . . . . 8
8245adantr 465 . . . . . . . . . 10
8363adantr 465 . . . . . . . . . . 11
84 dvnf 21801 . . . . . . . . . . 11
8582, 83, 79, 84syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10
86 dvnbss 21802 . . . . . . . . . . . . 13
8782, 83, 79, 86syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . 12
88 fdm 5683 . . . . . . . . . . . . . 14
8946, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
9089adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
9187, 90sseqtrd 3506 . . . . . . . . . . 11
9247adantr 465 . . . . . . . . . . 11
9391, 92sstrd 3480 . . . . . . . . . 10
9448adantr 465 . . . . . . . . . . 11
95 fzofzp1 11769 . . . . . . . . . . . . 13
9695adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
97 fznn0sub 11632 . . . . . . . . . . . 12
9896, 97syl 16 . . . . . . . . . . 11
9994, 98nn0addcld 10778 . . . . . . . . . 10
10050adantr 465 . . . . . . . . . . 11
101 elfzofz 11712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
102101adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
103 fznn0sub 11632 . . . . . . . . . . . . . . . 16
104102, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
10594, 104nn0addcld 10778 . . . . . . . . . . . . . 14
106 dvnadd 21803 . . . . . . . . . . . . . 14
10782, 83, 79, 105, 106syl22anc 1220 . . . . . . . . . . . . 13
10848nn0cnd 10776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
109108adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11098nn0cnd 10776 . . . . . . . . . . . . . . . 16
111 1cnd 9539 . . . . . . . . . . . . . . . 16
112109, 110, 111addassd 9545 . . . . . . . . . . . . . . 15
11367adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11479nn0cnd 10776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
115113, 114, 111nppcan2d 9882 . . . . . . . . . . . . . . . 16
116115oveq2d 6238 . . . . . . . . . . . . . . 15
117112, 116eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . 14
118117fveq2d 5817 . . . . . . . . . . . . 13
119114, 113pncan3d 9859 . . . . . . . . . . . . . . . 16
120119oveq2d 6238 . . . . . . . . . . . . . . 15
121113, 114subcld 9856 . . . . . . . . . . . . . . . 16
122109, 114, 121add12d 9728 . . . . . . . . . . . . . . 15
123120, 122eqtr3d 2497 . . . . . . . . . . . . . 14
124123fveq2d 5817 . . . . . . . . . . . . 13
125107, 118, 1243eqtr4d 2505 . . . . . . . . . . . 12
126125dmeqd 5159 . . . . . . . . . . 11
127100, 126eleqtrrd 2545 . . . . . . . . . 10
12882, 85, 93, 99, 127dvtaylp 22235 . . . . . . . . 9
129117oveq1d 6237 . . . . . . . . . 10
130129oveq2d 6238 . . . . . . . . 9
13160adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
132 dvnp1 21799 . . . . . . . . . . . . 13
133131, 83, 79, 132syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . 12
134133oveq2d 6238 . . . . . . . . . . 11
135134eqcomd 2462 . . . . . . . . . 10
136135oveqd 6239 . . . . . . . . 9
137128, 130, 1363eqtr3rd 2504 . . . . . . . 8
13881, 137eqeq12d 2476 . . . . . . 7
13974, 138syl5ibr 221 . . . . . 6
140139expcom 435 . . . . 5
141140a2d 26 . . . 4
14214, 23, 32, 41, 73, 141fzind2 11782 . . 3
1435, 142mpcom 36 . 2
14467subidd 9844 . . . . 5
145144oveq2d 6238 . . . 4
146108addid1d 9706 . . . 4
147145, 146eqtrd 2495 . . 3
148147oveq1d 6237 . 2
149143, 148eqtrd 2495 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1758   cvv 3081  C_wss 3442  {cpr 3995  domcdm 4957  -->wf 5533  `cfv 5537  (class class class)co 6222   cmap 7348   cpm 7349   cc 9417   cr 9418  0cc0 9419  1c1 9420   caddc 9422   cmin 9732   cn0 10717   cuz 11000   cfz 11582   cfzo 11693   cdv 21738   cdvn 21739   ctayl 22218
This theorem is referenced by:  dvntaylp0  22237  taylthlem1  22238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-inf2 7984  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496  ax-pre-sup 9497  ax-addf 9498  ax-mulf 9499
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-int 4246  df-iun 4290  df-iin 4291  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-of 6453  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-supp 6825  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-1o 7054  df-2o 7055  df-oadd 7058  df-er 7235  df-map 7350  df-pm 7351  df-ixp 7398  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-fin 7448  df-fsupp 7756  df-fi 7797  df-sup 7827  df-oi 7861  df-card 8246  df-cda 8474  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-div 10131  df-nn 10461  df-2 10518  df-3 10519  df-4 10520  df-5 10521  df-6 10522  df-7 10523  df-8 10524  df-9 10525  df-10 10526  df-n0 10718  df-z 10785  df-dec 10895  df-uz 11001  df-q 11093  df-rp 11131  df-xneg 11228  df-xadd 11229  df-xmul 11230  df-icc 11446  df-fz 11583  df-fzo 11694  df-seq 11964  df-exp 12023  df-fac 12209  df-hash 12261  df-cj 12746  df-re 12747  df-im 12748  df-sqr 12882  df-abs 12883  df-clim 13124  df-sum 13322  df-struct 14334  df-ndx 14335  df-slot 14336  df-base 14337  df-sets 14338  df-ress 14339  df-plusg 14410  df-mulr 14411  df-starv 14412  df-sca 14413  df-vsca 14414  df-ip 14415  df-tset 14416  df-ple 14417  df-ds 14419  df-unif 14420  df-hom 14421  df-cco 14422  df-rest 14520  df-topn 14521  df-0g 14539  df-gsum 14540  df-topgen 14541  df-pt 14542  df-prds 14545  df-xrs 14599  df-qtop 14604  df-imas 14605  df-xps 14607  df-mre 14683  df-mrc 14684  df-acs 14686  df-mnd 15574  df-submnd 15624  df-grp 15704  df-minusg 15705  df-mulg 15707  df-cntz 15994  df-cmn 16440  df-abl 16441  df-mgp 16767  df-ur 16779  df-rng 16823  df-cring 16824  df-psmet 18002  df-xmet 18003  df-met 18004  df-bl 18005  df-mopn 18006  df-fbas 18007  df-fg 18008  df-cnfld 18012  df-top 18902  df-bases 18904  df-topon 18905  df-topsp 18906  df-cld 19022  df-ntr 19023  df-cls 19024  df-nei 19101  df-lp 19139  df-perf 19140  df-cn 19230  df-cnp 19231  df-haus 19318  df-tx 19534  df-hmeo 19727  df-fil 19818  df-fm 19910  df-flim 19911  df-flf 19912  df-tsms 20096  df-xms 20294  df-ms 20295  df-tms 20296  df-cncf 20853  df-limc 21741  df-dv 21742  df-dvn 21743  df-tayl 22220
  Copyright terms: Public domain W3C validator