MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvntaylp Unicode version

Theorem dvntaylp 21577
Description: The -th derivative of the Taylor polynomial is the Taylor polynomial of the -th derivative of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dvntaylp.s
dvntaylp.f
dvntaylp.a
dvntaylp.m
dvntaylp.n
dvntaylp.b
Assertion
Ref Expression
dvntaylp

Proof of Theorem dvntaylp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvntaylp.m . . . . 5
2 nn0uz 10840 . . . . 5
31, 2syl6eleq 2512 . . . 4
4 eluzfz2b 11404 . . . 4
53, 4sylib 190 . . 3
6 fveq2 5661 . . . . . 6
7 fveq2 5661 . . . . . . . 8
87oveq2d 6077 . . . . . . 7
9 oveq2 6069 . . . . . . . 8
109oveq2d 6077 . . . . . . 7
11 eqidd 2423 . . . . . . 7
128, 10, 11oveq123d 6082 . . . . . 6
136, 12eqeq12d 2436 . . . . 5
1413imbi2d 310 . . . 4
15 fveq2 5661 . . . . . 6
16 fveq2 5661 . . . . . . . 8
1716oveq2d 6077 . . . . . . 7
18 oveq2 6069 . . . . . . . 8
1918oveq2d 6077 . . . . . . 7
20 eqidd 2423 . . . . . . 7
2117, 19, 20oveq123d 6082 . . . . . 6
2215, 21eqeq12d 2436 . . . . 5
2322imbi2d 310 . . . 4
24 fveq2 5661 . . . . . 6
25 fveq2 5661 . . . . . . . 8
2625oveq2d 6077 . . . . . . 7
27 oveq2 6069 . . . . . . . 8
2827oveq2d 6077 . . . . . . 7
29 eqidd 2423 . . . . . . 7
3026, 28, 29oveq123d 6082 . . . . . 6
3124, 30eqeq12d 2436 . . . . 5
3231imbi2d 310 . . . 4
33 fveq2 5661 . . . . . 6
34 fveq2 5661 . . . . . . . 8
3534oveq2d 6077 . . . . . . 7
36 oveq2 6069 . . . . . . . 8
3736oveq2d 6077 . . . . . . 7
38 eqidd 2423 . . . . . . 7
3935, 37, 38oveq123d 6082 . . . . . 6
4033, 39eqeq12d 2436 . . . . 5
4140imbi2d 310 . . . 4
42 ssid 3352 . . . . . . . 8
4342a1i 11 . . . . . . 7
44 mapsspm 7205 . . . . . . . 8
45 dvntaylp.s . . . . . . . . . 10
46 dvntaylp.f . . . . . . . . . 10
47 dvntaylp.a . . . . . . . . . 10
48 dvntaylp.n . . . . . . . . . . 11
4948, 1nn0addcld 10585 . . . . . . . . . 10
50 dvntaylp.b . . . . . . . . . 10
51 eqid 2422 . . . . . . . . . 10
5245, 46, 47, 49, 50, 51taylpf 21572 . . . . . . . . 9
53 cnex 9309 . . . . . . . . . 10
5453, 53elmap 7200 . . . . . . . . 9
5552, 54sylibr 206 . . . . . . . 8
5644, 55sseldi 3331 . . . . . . 7
57 dvn0 21098 . . . . . . 7
5843, 56, 57syl2anc 646 . . . . . 6
59 recnprss 21079 . . . . . . . . . 10
6045, 59syl 16 . . . . . . . . 9
6153a1i 11 . . . . . . . . . 10
62 elpm2r 7191 . . . . . . . . . 10
6361, 45, 46, 47, 62syl22anc 1204 . . . . . . . . 9
64 dvn0 21098 . . . . . . . . 9
6560, 63, 64syl2anc 646 . . . . . . . 8
6665oveq2d 6077 . . . . . . 7
671nn0cnd 10583 . . . . . . . . 9
6867subid1d 9654 . . . . . . . 8
6968oveq2d 6077 . . . . . . 7
70 eqidd 2423 . . . . . . 7
7166, 69, 70oveq123d 6082 . . . . . 6
7258, 71eqtr4d 2457 . . . . 5
7372a1i 11 . . . 4
74 oveq2 6069 . . . . . . 7
7542a1i 11 . . . . . . . . 9
7656adantr 455 . . . . . . . . 9
77 elfzouz 11498 . . . . . . . . . . 11
7877adantl 456 . . . . . . . . . 10
7978, 2syl6eleqr 2513 . . . . . . . . 9
80 dvnp1 21099 . . . . . . . . 9
8175, 76, 79, 80syl3anc 1203 . . . . . . . 8
8245adantr 455 . . . . . . . . . 10
8363adantr 455 . . . . . . . . . . 11
84 dvnf 21101 . . . . . . . . . . 11
8582, 83, 79, 84syl3anc 1203 . . . . . . . . . 10
86 dvnbss 21102 . . . . . . . . . . . . 13
8782, 83, 79, 86syl3anc 1203 . . . . . . . . . . . 12
88 fdm 5533 . . . . . . . . . . . . . 14
8946, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
9089adantr 455 . . . . . . . . . . . 12
9187, 90sseqtrd 3369 . . . . . . . . . . 11
9247adantr 455 . . . . . . . . . . 11
9391, 92sstrd 3343 . . . . . . . . . 10
9448adantr 455 . . . . . . . . . . 11
95 fzofzp1 11565 . . . . . . . . . . . . 13
9695adantl 456 . . . . . . . . . . . 12
97 fznn0sub 11431 . . . . . . . . . . . 12
9896, 97syl 16 . . . . . . . . . . 11
9994, 98nn0addcld 10585 . . . . . . . . . 10
10050adantr 455 . . . . . . . . . . 11
101 elfzofz 11508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
102101adantl 456 . . . . . . . . . . . . . . . 16
103 fznn0sub 11431 . . . . . . . . . . . . . . . 16
104102, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
10594, 104nn0addcld 10585 . . . . . . . . . . . . . 14
106 dvnadd 21103 . . . . . . . . . . . . . 14
10782, 83, 79, 105, 106syl22anc 1204 . . . . . . . . . . . . 13
10848nn0cnd 10583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
109108adantr 455 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11098nn0cnd 10583 . . . . . . . . . . . . . . . 16
111 1cnd 9348 . . . . . . . . . . . . . . . 16
112109, 110, 111addassd 9354 . . . . . . . . . . . . . . 15
11367adantr 455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11479nn0cnd 10583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
115113, 114, 111nppcan2d 9691 . . . . . . . . . . . . . . . 16
116115oveq2d 6077 . . . . . . . . . . . . . . 15
117112, 116eqtrd 2454 . . . . . . . . . . . . . 14
118117fveq2d 5665 . . . . . . . . . . . . 13
119114, 113pncan3d 9668 . . . . . . . . . . . . . . . 16
120119oveq2d 6077 . . . . . . . . . . . . . . 15
121113, 114subcld 9665 . . . . . . . . . . . . . . . 16
122109, 114, 121add12d 9537 . . . . . . . . . . . . . . 15
123120, 122eqtr3d 2456 . . . . . . . . . . . . . 14
124123fveq2d 5665 . . . . . . . . . . . . 13
125107, 118, 1243eqtr4d 2464 . . . . . . . . . . . 12
126125dmeqd 5013 . . . . . . . . . . 11
127100, 126eleqtrrd 2499 . . . . . . . . . 10
12882, 85, 93, 99, 127dvtaylp 21576 . . . . . . . . 9
129117oveq1d 6076 . . . . . . . . . 10
130129oveq2d 6077 . . . . . . . . 9
13160adantr 455 . . . . . . . . . . . . 13
132 dvnp1 21099 . . . . . . . . . . . . 13
133131, 83, 79, 132syl3anc 1203 . . . . . . . . . . . 12
134133oveq2d 6077 . . . . . . . . . . 11
135134eqcomd 2427 . . . . . . . . . 10
136135oveqd 6078 . . . . . . . . 9
137128, 130, 1363eqtr3rd 2463 . . . . . . . 8
13881, 137eqeq12d 2436 . . . . . . 7
13974, 138syl5ibr 215 . . . . . 6
140139expcom 428 . . . . 5
141140a2d 25 . . . 4
14214, 23, 32, 41, 73, 141fzind2 11578 . . 3
1435, 142mpcom 35 . 2
14467subidd 9653 . . . . 5
145144oveq2d 6077 . . . 4
146108addid1d 9515 . . . 4
147145, 146eqtrd 2454 . . 3
148147oveq1d 6076 . 2
149143, 148eqtrd 2454 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 362  =wceq 1687  e.wcel 1749   cvv 2951  C_wss 3305  {cpr 3854  domcdm 4811  -->wf 5386  `cfv 5390  (class class class)co 6061   cmap 7175   cpm 7176   cc 9226   cr 9227  0cc0 9228  1c1 9229   caddc 9231   cmin 9541   cn0 10525   cuz 10806   cfz 11381   cfzo 11489   cdv 21038   cdvn 21039   ctayl 21559
This theorem is referenced by:  dvntaylp0  21578  taylthlem1  21579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-inf2 7794  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305  ax-pre-sup 9306  ax-addf 9307  ax-mulf 9308
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-fal 1356  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-int 4104  df-iun 4148  df-iin 4149  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-se 4651  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-isom 5399  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-of 6290  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-1o 6881  df-2o 6882  df-oadd 6885  df-er 7062  df-map 7177  df-pm 7178  df-ixp 7223  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-fin 7273  df-fi 7608  df-sup 7638  df-oi 7671  df-card 8056  df-cda 8284  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-div 9940  df-nn 10269  df-2 10326  df-3 10327  df-4 10328  df-5 10329  df-6 10330  df-7 10331  df-8 10332  df-9 10333  df-10 10334  df-n0 10526  df-z 10592  df-dec 10701  df-uz 10807  df-q 10899  df-rp 10937  df-xneg 11034  df-xadd 11035  df-xmul 11036  df-icc 11252  df-fz 11382  df-fzo 11490  df-seq 11748  df-exp 11807  df-fac 11993  df-hash 12045  df-cj 12529  df-re 12530  df-im 12531  df-sqr 12665  df-abs 12666  df-clim 12907  df-sum 13105  df-struct 14116  df-ndx 14117  df-slot 14118  df-base 14119  df-sets 14120  df-ress 14121  df-plusg 14191  df-mulr 14192  df-starv 14193  df-sca 14194  df-vsca 14195  df-ip 14196  df-tset 14197  df-ple 14198  df-ds 14200  df-unif 14201  df-hom 14202  df-cco 14203  df-rest 14301  df-topn 14302  df-0g 14320  df-gsum 14321  df-topgen 14322  df-pt 14323  df-prds 14326  df-xrs 14380  df-qtop 14385  df-imas 14386  df-xps 14388  df-mre 14464  df-mrc 14465  df-acs 14467  df-mnd 15355  df-submnd 15405  df-grp 15482  df-minusg 15483  df-mulg 15485  df-cntz 15772  df-cmn 16216  df-abl 16217  df-mgp 16458  df-rng 16472  df-cring 16473  df-ur 16474  df-psmet 17519  df-xmet 17520  df-met 17521  df-bl 17522  df-mopn 17523  df-fbas 17524  df-fg 17525  df-cnfld 17529  df-top 18207  df-bases 18209  df-topon 18210  df-topsp 18211  df-cld 18327  df-ntr 18328  df-cls 18329  df-nei 18406  df-lp 18444  df-perf 18445  df-cn 18535  df-cnp 18536  df-haus 18623  df-tx 18839  df-hmeo 19032  df-fil 19123  df-fm 19215  df-flim 19216  df-flf 19217  df-tsms 19401  df-xms 19595  df-ms 19596  df-tms 19597  df-cncf 20154  df-limc 21041  df-dv 21042  df-dvn 21043  df-tayl 21561
  Copyright terms: Public domain W3C validator