MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eceqoveq Unicode version

Theorem eceqoveq 7435
Description: Equality of equivalence relation in terms of an operation. (Contributed by NM, 15-Feb-1996.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eceqoveq.5
eceqoveq.7
eceqoveq.8
eceqoveq.9
eceqoveq.10
Assertion
Ref Expression
eceqoveq
Distinct variable groups:   , ,   ,S,   , ,   , ,   , ,   , ,

Proof of Theorem eceqoveq
StepHypRef Expression
1 opelxpi 5036 . . . . . . . 8
21ad2antrr 725 . . . . . . 7
3 eceqoveq.5 . . . . . . . . 9
43a1i 11 . . . . . . . 8
5 simpr 461 . . . . . . . 8
64, 5ereldm 7374 . . . . . . 7
72, 6mpbid 210 . . . . . 6
8 opelxp2 5038 . . . . . 6
97, 8syl 16 . . . . 5
109ex 434 . . . 4
11 eceqoveq.9 . . . . . . . 8
1211caovcl 6469 . . . . . . 7
13 eleq1 2529 . . . . . . 7
1412, 13syl5ibr 221 . . . . . 6
15 eceqoveq.7 . . . . . . . 8
16 eceqoveq.8 . . . . . . . 8
1715, 16ndmovrcl 6461 . . . . . . 7
1817simprd 463 . . . . . 6
1914, 18syl6com 35 . . . . 5
2019adantll 713 . . . 4
213a1i 11 . . . . . . 7
221adantr 465 . . . . . . 7
2321, 22erth 7375 . . . . . 6
24 eceqoveq.10 . . . . . 6
2523, 24bitr3d 255 . . . . 5
2625expr 615 . . . 4
2710, 20, 26pm5.21ndd 354 . . 3
2827an32s 804 . 2
29 eqcom 2466 . . . 4
30 erdm 7340 . . . . . . . . . . . 12
313, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
3231eleq2i 2535 . . . . . . . . . 10
33 ecdmn0 7373 . . . . . . . . . 10
34 opelxp 5034 . . . . . . . . . 10
3532, 33, 343bitr3i 275 . . . . . . . . 9
3635simplbi2 625 . . . . . . . 8
3736ad2antlr 726 . . . . . . 7
3837necon2bd 2672 . . . . . 6
39 simpr 461 . . . . . . . 8
4039con3i 135 . . . . . . 7
4115ndmov 6459 . . . . . . 7
4240, 41syl 16 . . . . . 6
4338, 42syl6 33 . . . . 5
44 eleq1 2529 . . . . . . 7
4516, 44mtbiri 303 . . . . . 6
4635simprbi 464 . . . . . . . 8
4711caovcl 6469 . . . . . . . . . 10
4847ex 434 . . . . . . . . 9
4948ad2antrr 725 . . . . . . . 8
5046, 49syl5 32 . . . . . . 7
5150necon1bd 2675 . . . . . 6
5245, 51syl5 32 . . . . 5
5343, 52impbid 191 . . . 4
5429, 53syl5bb 257 . . 3
5531eleq2i 2535 . . . . . . . 8
56 ecdmn0 7373 . . . . . . . 8
57 opelxp 5034 . . . . . . . 8
5855, 56, 573bitr3i 275 . . . . . . 7
5958simprbi 464 . . . . . 6
6059necon1bi 2690 . . . . 5
6160adantl 466 . . . 4
6261eqeq1d 2459 . . 3
63 simpl 457 . . . . . . 7
6463con3i 135 . . . . . 6
6515ndmov 6459 . . . . . 6
6664, 65syl 16 . . . . 5
6766adantl 466 . . . 4
6867eqeq2d 2471 . . 3
6954, 62, 683bitr4d 285 . 2
7028, 69pm2.61dan 791 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   c0 3784  <.cop 4035   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  domcdm 5004  (class class class)co 6296  Erwer 7327  [cec 7328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fv 5601  df-ov 6299  df-er 7330  df-ec 7332
  Copyright terms: Public domain W3C validator