MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ecovcom Unicode version

Theorem ecovcom 7436
Description: Lemma used to transfer a commutative law via an equivalence relation. (Contributed by NM, 29-Aug-1995.) (Revised by David Abernethy, 4-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ecovcom.1
ecovcom.2
ecovcom.3
ecovcom.4
ecovcom.5
Assertion
Ref Expression
ecovcom
Distinct variable groups:   , , , ,   , ,   , , , ,   , , , ,   ,S, , ,   , ,

Proof of Theorem ecovcom
StepHypRef Expression
1 ecovcom.1 . 2
2 oveq1 6303 . . 3
3 oveq2 6304 . . 3
42, 3eqeq12d 2479 . 2
5 oveq2 6304 . . 3
6 oveq1 6303 . . 3
75, 6eqeq12d 2479 . 2
8 ecovcom.4 . . . 4
9 ecovcom.5 . . . 4
10 opeq12 4219 . . . . 5
1110eceq1d 7367 . . . 4
128, 9, 11mp2an 672 . . 3
13 ecovcom.2 . . 3
14 ecovcom.3 . . . 4
1514ancoms 453 . . 3
1612, 13, 153eqtr4a 2524 . 2
171, 4, 7, 162ecoptocl 7421 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  <.cop 4035  X.cxp 5002  (class class class)co 6296  [cec 7328  /.cqs 7329
This theorem is referenced by:  addcomsr  9485  mulcomsr  9487  axmulcom  9553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-xp 5010  df-cnv 5012  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fv 5601  df-ov 6299  df-ec 7332  df-qs 7336
  Copyright terms: Public domain W3C validator