Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ecovdi Unicode version

Theorem ecovdi 7438
 Description: Lemma used to transfer a distributive law via an equivalence relation. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (Revised by David Abernethy, 4-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ecovdi.1
ecovdi.2
ecovdi.3
ecovdi.4
ecovdi.5
ecovdi.6
ecovdi.7
ecovdi.8
ecovdi.9
ecovdi.10
ecovdi.11
Assertion
Ref Expression
ecovdi
Distinct variable groups:   ,,,,,,   ,,,,   ,,,   ,,,,,,   ,,,,,,   ,S,,,,,   ,,,,,,   ,,,,

Proof of Theorem ecovdi
StepHypRef Expression
1 ecovdi.1 . 2
2 oveq1 6303 . . 3
3 oveq1 6303 . . . 4
4 oveq1 6303 . . . 4
53, 4oveq12d 6314 . . 3
62, 5eqeq12d 2479 . 2
7 oveq1 6303 . . . 4
87oveq2d 6312 . . 3
9 oveq2 6304 . . . 4
109oveq1d 6311 . . 3
118, 10eqeq12d 2479 . 2
12 oveq2 6304 . . . 4
1312oveq2d 6312 . . 3
14 oveq2 6304 . . . 4
1514oveq2d 6312 . . 3
1613, 15eqeq12d 2479 . 2
17 ecovdi.10 . . . 4
18 ecovdi.11 . . . 4
19 opeq12 4219 . . . . 5
2019eceq1d 7367 . . . 4
2117, 18, 20mp2an 672 . . 3
22 ecovdi.2 . . . . . . 7
2322oveq2d 6312 . . . . . 6
2423adantl 466 . . . . 5
25 ecovdi.7 . . . . . 6
26 ecovdi.3 . . . . . 6
2725, 26sylan2 474 . . . . 5
2824, 27eqtrd 2498 . . . 4
29283impb 1192 . . 3
30 ecovdi.4 . . . . . 6
31 ecovdi.5 . . . . . 6
3230, 31oveqan12d 6315 . . . . 5
33 ecovdi.8 . . . . . 6
34 ecovdi.9 . . . . . 6
35 ecovdi.6 . . . . . 6
3633, 34, 35syl2an 477 . . . . 5
3732, 36eqtrd 2498 . . . 4
38373impdi 1283 . . 3
3921, 29, 383eqtr4a 2524 . 2
401, 6, 11, 16, 393ecoptocl 7422 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  <.cop 4035  X.cxp 5002  (class class class)co 6296  [cec 7328  /.cqs 7329 This theorem is referenced by:  distrsr  9489  axdistr  9556 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-xp 5010  df-cnv 5012  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fv 5601  df-ov 6299  df-ec 7332  df-qs 7336
 Copyright terms: Public domain W3C validator