MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ef01bndlem Unicode version

Theorem ef01bndlem 13919
Description: Lemma for sin01bnd 13920 and cos01bnd 13921. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Hypothesis
Ref Expression
ef01bnd.1
Assertion
Ref Expression
ef01bndlem
Distinct variable groups:   , ,   ,

Proof of Theorem ef01bndlem
StepHypRef Expression
1 ax-icn 9572 . . . . 5
2 0xr 9661 . . . . . . . 8
3 1re 9616 . . . . . . . 8
4 elioc2 11616 . . . . . . . 8
52, 3, 4mp2an 672 . . . . . . 7
65simp1bi 1011 . . . . . 6
76recnd 9643 . . . . 5
8 mulcl 9597 . . . . 5
91, 7, 8sylancr 663 . . . 4
10 4nn0 10839 . . . 4
11 ef01bnd.1 . . . . 5
1211eftlcl 13842 . . . 4
139, 10, 12sylancl 662 . . 3
1413abscld 13267 . 2
15 reexpcl 12183 . . . 4
166, 10, 15sylancl 662 . . 3
17 4re 10637 . . . . 5
1817, 3readdcli 9630 . . . 4
19 faccl 12363 . . . . . 6
2010, 19ax-mp 5 . . . . 5
21 4nn 10720 . . . . 5
2220, 21nnmulcli 10585 . . . 4
23 nndivre 10596 . . . 4
2418, 22, 23mp2an 672 . . 3
25 remulcl 9598 . . 3
2616, 24, 25sylancl 662 . 2
27 6nn 10722 . . 3
28 nndivre 10596 . . 3
2916, 27, 28sylancl 662 . 2
30 eqid 2457 . . . 4
31 eqid 2457 . . . 4
3221a1i 11 . . . 4
33 absmul 13127 . . . . . . 7
341, 7, 33sylancr 663 . . . . . 6
35 absi 13119 . . . . . . . 8
3635oveq1i 6306 . . . . . . 7
375simp2bi 1012 . . . . . . . . . 10
386, 37elrpd 11283 . . . . . . . . 9
39 rpre 11255 . . . . . . . . . 10
40 rpge0 11261 . . . . . . . . . 10
4139, 40absidd 13254 . . . . . . . . 9
4238, 41syl 16 . . . . . . . 8
4342oveq2d 6312 . . . . . . 7
4436, 43syl5eq 2510 . . . . . 6
457mulid2d 9635 . . . . . 6
4634, 44, 453eqtrd 2502 . . . . 5
475simp3bi 1013 . . . . 5
4846, 47eqbrtrd 4472 . . . 4
4911, 30, 31, 32, 9, 48eftlub 13844 . . 3
5046oveq1d 6311 . . . 4
5150oveq1d 6311 . . 3
5249, 51breqtrd 4476 . 2
53 3pos 10654 . . . . . . . . 9
54 0re 9617 . . . . . . . . . 10
55 3re 10634 . . . . . . . . . 10
56 5re 10639 . . . . . . . . . 10
5754, 55, 56ltadd1i 10132 . . . . . . . . 9
5853, 57mpbi 208 . . . . . . . 8
59 5cn 10640 . . . . . . . . 9
6059addid2i 9789 . . . . . . . 8
61 cu2 12266 . . . . . . . . 9
62 5p3e8 10699 . . . . . . . . 9
63 3nn 10719 . . . . . . . . . . 11
6463nncni 10571 . . . . . . . . . 10
6559, 64addcomi 9792 . . . . . . . . 9
6661, 62, 653eqtr2ri 2493 . . . . . . . 8
6758, 60, 663brtr3i 4479 . . . . . . 7
68 2re 10630 . . . . . . . 8
69 1le2 10774 . . . . . . . 8
70 4z 10923 . . . . . . . . 9
71 3lt4 10730 . . . . . . . . . 10
7255, 17, 71ltleii 9728 . . . . . . . . 9
7363nnzi 10913 . . . . . . . . . 10
7473eluz1i 11117 . . . . . . . . 9
7570, 72, 74mpbir2an 920 . . . . . . . 8
76 leexp2a 12221 . . . . . . . 8
7768, 69, 75, 76mp3an 1324 . . . . . . 7
78 8re 10645 . . . . . . . . 9
7961, 78eqeltri 2541 . . . . . . . 8
80 2nn 10718 . . . . . . . . . 10
81 nnexpcl 12179 . . . . . . . . . 10
8280, 10, 81mp2an 672 . . . . . . . . 9
8382nnrei 10570 . . . . . . . 8
8456, 79, 83ltletri 9733 . . . . . . 7
8567, 77, 84mp2an 672 . . . . . 6
86 6re 10641 . . . . . . . 8
8786, 83remulcli 9631 . . . . . . 7
88 6pos 10659 . . . . . . . 8
8982nngt0i 10594 . . . . . . . 8
9086, 83, 88, 89mulgt0ii 9739 . . . . . . 7
9156, 83, 87, 90ltdiv1ii 10500 . . . . . 6
9285, 91mpbi 208 . . . . 5
93 df-5 10622 . . . . . 6
94 df-4 10621 . . . . . . . . . . 11
9594fveq2i 5874 . . . . . . . . . 10
96 3nn0 10838 . . . . . . . . . . 11
97 facp1 12358 . . . . . . . . . . 11
9896, 97ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
99 sq2 12264 . . . . . . . . . . . 12
10099, 94eqtr2i 2487 . . . . . . . . . . 11
101100oveq2i 6307 . . . . . . . . . 10
10295, 98, 1013eqtri 2490 . . . . . . . . 9
103102oveq1i 6306 . . . . . . . 8
10499oveq2i 6307 . . . . . . . 8
105 fac3 12360 . . . . . . . . . 10
106 6cn 10642 . . . . . . . . . 10
107105, 106eqeltri 2541 . . . . . . . . 9
10817recni 9629 . . . . . . . . . 10
10999, 108eqeltri 2541 . . . . . . . . 9
110107, 109, 109mulassi 9626 . . . . . . . 8
111103, 104, 1103eqtr3i 2494 . . . . . . 7
112 2p2e4 10678 . . . . . . . . . 10
113112oveq2i 6307 . . . . . . . . 9
114 2cn 10631 . . . . . . . . . 10
115 2nn0 10837 . . . . . . . . . 10
116 expadd 12208 . . . . . . . . . 10
117114, 115, 115, 116mp3an 1324 . . . . . . . . 9
118113, 117eqtr3i 2488 . . . . . . . 8
119118oveq2i 6307 . . . . . . 7
120105oveq1i 6306 . . . . . . 7
121111, 119, 1203eqtr2ri 2493 . . . . . 6
12293, 121oveq12i 6308 . . . . 5
12382nncni 10571 . . . . . . . 8
124123mulid2i 9620 . . . . . . 7
125124oveq1i 6306 . . . . . 6
12682nnne0i 10595 . . . . . . . . 9
127123, 126dividi 10302 . . . . . . . 8
128127oveq2i 6307 . . . . . . 7
129 ax-1cn 9571 . . . . . . . 8
13086, 88gt0ne0ii 10114 . . . . . . . 8
131129, 106, 123, 123, 130, 126divmuldivi 10329 . . . . . . 7
13286, 130rereccli 10334 . . . . . . . . 9
133132recni 9629 . . . . . . . 8
134133mulid1i 9619 . . . . . . 7
135128, 131, 1343eqtr3i 2494 . . . . . 6
136125, 135eqtr3i 2488 . . . . 5
13792, 122, 1363brtr3i 4479 . . . 4
138 rpexpcl 12185 . . . . . 6
13938, 70, 138sylancl 662 . . . . 5
140 elrp 11251 . . . . . 6
141 ltmul2 10418 . . . . . . 7
14224, 132, 141mp3an12 1314 . . . . . 6
143140, 142sylbi 195 . . . . 5
144139, 143syl 16 . . . 4
145137, 144mpbii 211 . . 3
14616recnd 9643 . . . 4
147 divrec 10248 . . . . 5
148106, 130, 147mp3an23 1316 . . . 4
149146, 148syl 16 . . 3
150145, 149breqtrrd 4478 . 2
15114, 26, 29, 52, 150lelttrd 9761 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   ci 9515   caddc 9516   cmul 9518   cxr 9648   clt 9649   cle 9650   cdiv 10231   cn 10561  2c2 10610  3c3 10611  4c4 10612  5c5 10613  6c6 10614  8c8 10616   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   crp 11249   cioc 11559   cexp 12166   cfa 12353   cabs 13067  sum_csu 13508
This theorem is referenced by:  sin01bnd  13920  cos01bnd  13921
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591  ax-addf 9592  ax-mulf 9593
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-ioc 11563  df-ico 11564  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-seq 12108  df-exp 12167  df-fac 12354  df-hash 12406  df-shft 12900  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-limsup 13294  df-clim 13311  df-rlim 13312  df-sum 13509
  Copyright terms: Public domain W3C validator