Theorem ef0lem 13814

Description: The series defining the exponential function converges in the (trivial) case of a zero argument. (Contributed by Steve Rodriguez, 7-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
eftval.1

Assertion

Ref	Expression
ef0lem

Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem ef0lem

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 461	. . . . . 6
2		nn0uz 11144	. . . . . 6
3	1, 2	syl6eleqr 2556	. . . . 5
4		elnn0 10822	. . . . 5
5	3, 4	sylib 196	. . . 4
6		nnnn0 10827	. . . . . . . . 9
7	6	adantl 466	. . . . . . . 8
8		eftval.1	. . . . . . . . 9
9	8	eftval 13812	. . . . . . . 8
10	7, 9	syl 16	. . . . . . 7
11		oveq1 6303	. . . . . . . . 9
12		0exp 12201	. . . . . . . . 9
13	11, 12	sylan9eq 2518	. . . . . . . 8
14	13	oveq1d 6311	. . . . . . 7
15		faccl 12363	. . . . . . . 8
16		nncn 10569	. . . . . . . . 9
17		nnne0 10593	. . . . . . . . 9
18	16, 17	div0d 10344	. . . . . . . 8
19	7, 15, 18	3syl 20	. . . . . . 7
20	10, 14, 19	3eqtrd 2502	. . . . . 6
21		nnne0 10593	. . . . . . . . 9
22		elsn 4043	. . . . . . . . . 10
23	22	necon3bbii 2718	. . . . . . . . 9
24	21, 23	sylibr 212	. . . . . . . 8
25	24	adantl 466	. . . . . . 7
26	25	iffalsed 3952	. . . . . 6
27	20, 26	eqtr4d 2501	. . . . 5
28		fveq2 5871	. . . . . . 7
29		oveq1 6303	. . . . . . . . . 10
30		0exp0e1 12171	. . . . . . . . . 10
31	29, 30	syl6eq 2514	. . . . . . . . 9
32	31	oveq1d 6311	. . . . . . . 8
33		0nn0 10835	. . . . . . . . 9
34	8	eftval 13812	. . . . . . . . 9
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . . . 8
36		fac0 12356	. . . . . . . . . 10
37	36	oveq2i 6307	. . . . . . . . 9
38		1div1e1 10262	. . . . . . . . 9
39	37, 38	eqtr2i 2487	. . . . . . . 8
40	32, 35, 39	3eqtr4g 2523	. . . . . . 7
41	28, 40	sylan9eqr 2520	. . . . . 6
42		simpr 461	. . . . . . . 8
43	42, 22	sylibr 212	. . . . . . 7
44	43	iftrued 3949	. . . . . 6
45	41, 44	eqtr4d 2501	. . . . 5
46	27, 45	jaodan 785	. . . 4
47	5, 46	syldan 470	. . 3
48	33, 2	eleqtri 2543	. . . 4
49	48	a1i 11	. . 3
50		1cnd 9633	. . 3
51		0z 10900	. . . . . 6
52		fzsn 11754	. . . . . 6
53	51, 52	ax-mp 5	. . . . 5
54	53	eqimss2i 3558	. . . 4
55	54	a1i 11	. . 3
56	47, 49, 50, 55	fsumcvg2 13549	. 2
57	51, 40	seq1i 12121	. 2
58	56, 57	breqtrd 4476	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  C_wss 3475  ifcif 3941  {csn 4029   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  `cfv 5593  (class class class)co 6296  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  cdiv 10231  cn 10561  cn0 10820  cz 10889  cuz 11110  cfz 11701  seqcseq 12107  cexp 12166  cfa 12353  cli 13307

This theorem is referenced by:  ef0  13826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-seq 12108  df-exp 12167  df-fac 12354  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311